Question

Найти площадь фигуры,ограниченной линиями y=tgx,x=П/3 и осью OX

Answer 1

F(x)=-ln|cosx|

F(0)=-ln1=0

F(П/3)=-ln1/2=ln2

S=ln2

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = \tan(x) \), \( x = \frac{\pi}{3} \) и осью \( OX \), мы можем воспользоваться определенным интегралом для нахождения площади под кривой.

Определение площади под кривой

Площадь \( S \) фигуры, ограниченной кривой \( y = f(x) \), прямыми \( x = a \) и \( x = b \), и осью \( OX \), находится с помощью определенного интеграла:

\[ S = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]

Нахождение площади

В данном случае, кривая \( y = \tan(x) \) ограничена прямыми \( x = 0 \) и \( x = \frac{\pi}{3} \). Используем определенный интеграл для нахождения площади:

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan(x) \, dx \]

Решение интеграла

Для решения данного интеграла, мы можем воспользоваться методом замены переменной или таблицей интегралов.

\[ S = \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \tan(x) \, dx \]

Используя тригонометрическую замену \( u = \tan(x) \), \( du = \sec^2(x) \, dx \), получаем:

\[ S = \int u \, du = \frac{u^2}{2} + C \]

Затем возвращаемся к переменной \( x \):

\[ S = \frac{\tan^2(x)}{2} + C \]

Нахождение константы

Для нахождения константы \( C \) необходимо определить значения верхнего и нижнего пределов интегрирования:

\[ S = \left[ \frac{\tan^2(x)}{2} \right]_{0}^{\frac{\pi}{3}} \]

\[ S = \frac{\tan^2\left(\frac{\pi}{3}\right)}{2} - \frac{\tan^2(0)}{2} \]

\[ S = \frac{\sqrt{3}^2}{2} - \frac{0^2}{2} = \frac{3}{2} \]

Ответ

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = \tan(x) \), \( x = \frac{\pi}{3} \) и осью \( OX \), равна \( \frac{3}{2} \).