Question

Диагональ квадрата равна 2e, где e - единичный отрезок. Докажите, что сторона этого квадрата не выражается через отрезок e рациональным числом.

Answer 1

Ответ ответ ответ ответ ответ ответ

Answer 2

Для доказательства того, что сторона квадрата с диагональю 2e не может быть выражена через отрезок e рациональным числом, рассмотрим диагональ и сторону квадрата.

Пусть сторона квадрата равна s. Тогда по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника с диагональю 2e и сторонами s, s и e получаем следующее:

(2e)^2 = s^2 + s^2

Упрощая выражение получаем:

4e^2 = 2s^2

Делим обе части равенства на 2:

2e^2 = s^2

Из этого уравнения можно сделать вывод, что s^2 является рациональным числом (поскольку 2e^2 и e^2, как произведения рациональных чисел, также являются рациональными числами).

Доказательство от противного

Предположим, что сторона s может быть выражена через отрезок e рациональным числом. Это означает, что s является рациональным числом.

Поскольку s является рациональным числом, оно может быть записано в виде десятичной дроби или обыкновенной дроби. Рассмотрим оба случая:

1. Десятичная дробь

Если s является десятичной дробью, то оно может быть записано в виде конечной или бесконечной десятичной дроби.

- Если s является конечной десятичной дробью, то оно может быть записано в виде a / 10^b, где a и b - целые числа. Однако, из уравнения 2e^2 = s^2 следует, что 2e^2 также является рациональным числом. Но это невозможно, так как e - единичный отрезок и e^2 = 1, а значит 2e^2 = 2, что не является рациональным числом. Противоречие.

- Если s является бесконечной десятичной дробью, то оно может быть записано в виде a / (10^b - 1), где a и b - целые числа. Опять же, из уравнения 2e^2 = s^2 следует, что 2e^2 также является рациональным числом, что противоречит нашему предположению.

2. Обыкновенная дробь

Если s является обыкновенной дробью, то оно может быть записано в виде a / b, где a и b - целые числа. Подставим это выражение в уравнение 2e^2 = s^2:

2e^2 = (a / b)^2

2e^2 = a^2 / b^2

2e^2 * b^2 = a^2

Из этого уравнения следует, что a^2 является четным числом, так как произведение 2e^2 и b^2 является целым числом. Это означает, что a также является четным числом.

Пусть a = 2c, где c - целое число. Подставим в уравнение:

2e^2 * b^2 = (2c)^2

2e^2 * b^2 = 4c^2

e^2 * b^2 = 2c^2

Это означает, что 2c^2 является четным числом, а значит c^2 является четным числом. Из этого следует, что c также является четным числом.

Мы получили, что и a, и c являются четными числами, что противоречит нашему предположению о том, что s является рациональным числом.

Таким образом, мы доказали, что сторона квадрата с диагональю 2e не может быть выражена через отрезок e рациональным числом.