Question

Вычислить интеграл:∫((cos√x)/√x) dx

Answer 1

Решение инт  ((cos корень(х)\корень(х)) dx=

=|корень(x)=t    x=t^2    dx=2t dt|=

инт  (cos t\t  *2t ) dt= 2 инт  (cos t) dt=2*sin t +c=2* sin (корень(х))+с, где с – действительная константа

Ответ: 2* sin (корень(х))+с, где с – действительная константа

Answer 2

Для вычисления данного интеграла ∫((cos√x)/√x) dx, мы можем использовать метод интегрирования по частям.

Метод интегрирования по частям основан на формуле ∫(u * dv) = u * v - ∫(v * du), где u и v - функции, а du и dv - соответствующие дифференциалы.

Для данного интеграла, мы можем выбрать: u = cos√x dv = dx/√x

Тогда, соответствующие дифференциалы будут: du = (-sin√x)/(2√x) dx v = 2√x

Применяя формулу интегрирования по частям, получим: ∫((cos√x)/√x) dx = (cos√x) * (2√x) - ∫((2√x) * (-sin√x)/(2√x)) dx

Упрощая, получим: ∫((cos√x)/√x) dx = 2√x * cos√x + ∫sin√x dx

Интеграл ∫sin√x dx можно вычислить, заменив t = √x: dt = (1/2√x) dx dx = 2√x dt

Заменяя переменные, получим: ∫sin√x dx = ∫sin t * (2√x dt) = 2∫sin t dt

Интеграл от sin t равен -cos t: 2∫sin t dt = -2cos t + C

Возвращаемся к исходной переменной x: -2cos t + C = -2cos(√x) + C

Таким образом, окончательный результат для данного интеграла ∫((cos√x)/√x) dx будет: 2√x * cos√x - 2cos(√x) + C, где C - произвольная постоянная.