Question

помогите пожалуйста решить : 1)6cos ^2 x -7 cos x-5=0 и найти все корни этого уравнения , принадлежащие отрезку[п ,2п;]

Answer 1

$6cos^2x-7cosx-5=0; \\ (1+2cosx)(3cosx-5)=0; \\ 1)1+2cosx=0; \ 2cosx=-1 \\ cosx=- \frac{1}{2} ;\ x_1= \frac{2\pi}{3}+2\pi n ; x_2= \frac{4\pi}{3}+2\pi n;$
2) 3cosx-5=0; 3cosx=5; cosx=5/3;  x>1 => нет корней.
2п/3 ∉  [п,2п]
4п/3 ∈  [п,2п]
Ответ: $x_1= \frac{4\pi}{3}$

Answer 2

6cos²-7cosx-5=0
cosx=a
6a²-7a-5=0
D=49+120=169
a1=(7-13)/12=-1/2⇒cosx=-1/2⇒x=+-2π/3+2πn,n∈Z
π≤-2π/3+2πn≤2π
5π/3≤2πn≤8π/3
5/6≤n≤4/3
n=1⇒x=-2π/3+2π=4π/3
π≤2π/3+2πn≤2π
π/3≤2πn≤4π/3
1/6≤n≤2/3
нет решения
a2=(7+13)/12=5/3⇒cosx=5/3>1 нет решения
Ответ х=4π/3

Answer 3

Для решения уравнения 6cos^2(x) - 7cos(x) - 5 = 0, мы можем использовать метод замены и приведения квадратного уравнения к биквадратному уравнению.

Замена переменной

Давайте сделаем замену переменной, где t = cos(x). Тогда уравнение примет следующий вид:

6t^2 - 7t - 5 = 0

Решение биквадратного уравнения

Теперь мы можем решить это биквадратное уравнение, используя методы факторизации или квадратного трехчлена. В данном случае, мы воспользуемся методом факторизации.

Умножаем первый коэффициент (6) на последний коэффициент (-5), получаем -30. Теперь мы ищем два числа, которые в сумме дают -7 (коэффициент перед t). Эти числа -10 и 3.

6t^2 - 10t + 3t - 5 = 0

Выносим общий множитель:

2t(3t - 5) + 1(3t - 5) = 0

Теперь мы видим, что у нас есть общий множитель (3t - 5). Разделим уравнение на этот общий множитель:

(2t + 1)(3t - 5) = 0

Теперь у нас есть два множителя, которые могут равняться нулю:

2t + 1 = 0 или 3t - 5 = 0

Решение полученных уравнений

Решим каждое из этих уравнений по отдельности:

2t + 1 = 0: 2t = -1 t = -1/2

3t - 5 = 0: 3t = 5 t = 5/3

Обратная замена

Теперь, чтобы найти значения x, мы должны вернуться к исходному уравнению и подставить найденные значения t = cos(x):

t = -1/2: cos(x) = -1/2

t = 5/3: cos(x) = 5/3

Нахождение корней на отрезке [π, 2π]

Мы ищем значения x, которые принадлежат отрезку [π, 2π]. Для нахождения таких значений, мы должны использовать обратные тригонометрические функции.

cos(x) = -1/2: x = arccos(-1/2) = 2π/3

cos(x) = 5/3: x = arccos(5/3) (значение не принадлежит отрезку [π, 2π])

Корни уравнения

Таким образом, корнем уравнения 6cos^2(x) - 7cos(x) - 5 = 0, принадлежащим отрезку [π, 2π], является x = 2π/3.