Question

Решите уравнение с учетом ОДЗ: 1/√(x-2)=(x-2)^cosx

Answer 1

ОДЗ: $x\ \textgreater \ 2$;

$(x-2)^{-1/2}=(x-2)^{\cos x}.$

1 случай. x-2=1; x=3 - подходит.

2 случай. $x \neq 3;$
тогда равны показатели:

$\cos x= -\frac{1}{2};$

$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n$.

Остается сделать отбор по ОДЗ:

Первая серия: $\frac{2\pi}{3}+2\pi n>2$;

$n\ \textgreater \ \frac{6-2\pi}{6\pi}=\frac{1}{\pi}-\frac{1}{3}.$

Поскольку $3\ \textless \ \pi\ \textless \ 4\Rightarrow \frac{1}{4}\ \textless \ \frac{1}{\pi}\ \textless \ \frac{1}{3}\Rightarrow$

$-\frac{1}{12}\ \textless \ \frac{1}{\pi}-\frac{1}{3}\ \textless \ 0\Rightarrow\frac{1}{\pi}-\frac{1}{3}\in(-1;0)\Rightarrow n \geq 0$

Вторая серия: $-\frac{2\pi}{3}+2\pi n>2$;

$n\ \textgreater \ \frac{6+2\pi}{6\pi}=\frac{1}{\pi}+\frac{1}{3}\in(0;1)\Rightarrow n \geq 1$

Ответ: 3; $\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n =0,\ 1,\ 2,\ldots$;
 
$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n, n =1,\ 2,\ 3,\ldots$

Answer 2

Данное уравнение содержит ограничение на область определения (ОДЗ) в виде x ≠ 2, так как в знаменателе присутствует выражение (x-2) под корнем, которое должно быть положительным.

Давайте решим уравнение шаг за шагом:

1. Умножим обе части уравнения на корень из (x-2), чтобы избавиться от знаменателя в левой части:

1/√(x-2) * √(x-2) = (x-2)^cosx * √(x-2)

После упрощения получим:

1 = (x-2)^cosx * √(x-2)

2. Теперь возводим обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

1^2 = [(x-2)^cosx * √(x-2)]^2

1 = (x-2)^(2 * cosx) * (x-2)

Выражение (x-2) в правой части можно объединить с выражением (x-2)^(2 * cosx):

1 = (x-2)^(2 * cosx + 1)

3. Теперь возьмем логарифм от обеих частей уравнения:

log(1) = log[(x-2)^(2 * cosx + 1)]

0 = (2 * cosx + 1) * log(x-2)

4. Разделим обе части уравнения на log(x-2):

(2 * cosx + 1) = 0

Теперь решим полученное уравнение:

2 * cosx + 1 = 0

2 * cosx = -1

cosx = -1/2

5. Найдем значения x, для которых cosx = -1/2. Здесь мы используем общее знание о значениях тригонометрической функции cosx:

cosx = -1/2 соответствует углам 2π/3 и 4π/3 в радианах, или 120° и 240° в градусах.

Таким образом, решением уравнения являются x = 2π/3 + 2πn и x = 4π/3 + 2πn, где n - целое число.

Однако, не забудьте, что полученные значения x должны удовлетворять ограничению на область определения x ≠ 2. Поэтому, решением исходного уравнения с учетом ОДЗ будет:

x = 2π/3 + 2πn и x = 4π/3 + 2πn, где n - целое число, и x ≠ 2.