Question

Пусть D- дискриминант квадратного трехчлена ax^2 + bx + c .Определите знаки корней уравнения ax^2 + bx + c= 0, если : а) D>0, a<0, b>0, c<0 б) а>0, с <0

Answer 1

По теореме Виетта х1+х2= -b 
                                 x1*x2 = c
1) D>0, a<0, b>0, c<0. 
Получаем уравнение вида -ax^2+bx-c=0. 
Разницы нет будем мы находить корни при а положительном или отрицательном, корни либо буду оба положительны либо отрицательны либо один отрицательный один положительный, поэтому проще будет если а будет положительным. Умножим на (-1). 
Получим ax^2-bx+c=0. 
с положительно, b отрицательно, значит х1 и х2 положительные корни. 
2) a>0, c<0. 
Получаем ax^2+bx-c=0. 
c отрицательно, b положительно, значит произведение корней отрицательно и один из корней отрицательный, а другой положительный. 

Answer 2

Для того чтобы определить знаки корней уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), когда известно, что \(D > 0\), \(a < 0\), \(b > 0\) и \(c < 0\), а также в случае \(a > 0\) и \(c < 0\), можно воспользоваться квадратным трёхчленом и дискриминантом.

Дискриминант квадратного трехчлена

Дискриминант \(D\) квадратного трехчлена \(ax^2 + bx + c\) определяется по формуле: \[D = b^2 - 4ac\]

1. В случае \(D > 0\), корни уравнения действительные и различны. 2. В случае \(D = 0\), корни уравнения действительные и равны. 3. В случае \(D < 0\), корни уравнения мнимые.

Определение знаков корней уравнения

а) \(D > 0\), \(a < 0\), \(b > 0\), \(c < 0\)

В данном случае дискриминант \(D\) больше нуля, то есть уравнение имеет два действительных и различных корня. Так как коэффициент \(a\) отрицателен, то график параболы \(ax^2 + bx + c\) будет направлен вниз. Также, поскольку коэффициенты \(b > 0\) и \(c < 0\), корни будут располагаться по разные стороны от вершины параболы. Следовательно, один корень будет меньше нуля, а другой больше нуля.

б) \(a > 0\), \(c < 0\)

В этом случае дискриминант также больше нуля, что означает, что уравнение имеет два действительных и различных корня. Так как коэффициент \(a\) положителен, график параболы будет направлен вверх. При этом, поскольку коэффициент \(c < 0\), парабола будет пересекать ось \(x\) в отрицательной области. Следовательно, оба корня будут меньше нуля.

Таким образом, зная дискриминант и коэффициенты уравнения, можно определить характеристики корней данного уравнения.