Question

Найти производные функции (1/x)^arctg3x

Answer 1

( (1/x)^arctg(3x) )' = ( (x)^(-arctg3x) )' = -arctg(3x)*x^(-arctg3x - 1) * 3/(1 + 9x^2) = -3*arctg(3x) / ((1+9x^2)*(x^arctg3x + 1))

Answer 2

Для нахождения производной функции (1/x)^arctg(3x), мы можем использовать правило дифференцирования сложной функции. Давайте разобьем эту функцию на две составляющие: (1/x) и arctg(3x).

Нахождение производной (1/x)

Для нахождения производной функции (1/x), мы можем использовать правило дифференцирования обратной функции. Правило гласит, что производная обратной функции равна минус единице, деленной на квадрат производной исходной функции. В данном случае, исходная функция это f(x) = 1/x, а обратная функция это f^(-1)(x) = x. Производная функции f(x) = 1/x равна -1/x^2. Таким образом, производная функции (1/x) равна -1/x^2.

Нахождение производной arctg(3x)

Для нахождения производной функции arctg(3x), мы можем использовать правило дифференцирования функции арктангенса. Правило гласит, что производная функции arctg(x) равна 1/(1+x^2). В данном случае, исходная функция это f(x) = arctg(3x), а производная функции arctg(3x) равна 3/(1+(3x)^2).

Применение правила дифференцирования сложной функции

Теперь, когда у нас есть производные обеих составляющих функции (1/x)^arctg(3x), мы можем применить правило дифференцирования сложной функции. Правило гласит, что производная сложной функции f(g(x)) равна произведению производной внешней функции f'(g(x)) и производной внутренней функции g'(x). В данном случае, внешняя функция это f(x) = x^y, а внутренняя функция это g(x) = (1/x). Производная внешней функции f'(x) равна arctg(3x), а производная внутренней функции g'(x) равна -1/x^2. Таким образом, производная функции (1/x)^arctg(3x) равна (arctg(3x)) * (-1/x^2).

Итак, производная функции (1/x)^arctg(3x) равна (arctg(3x)) * (-1/x^2).