Question

С задания,Модуль "Геометрия". Точки M и N лежат на стороне АС треугольника АВС на расстояниях соответственно 12 и 21 от вершины А.Найдите радиус окружности,проходящей через точки М и N касающейся луча АВ,если косинус угла ВАС= Корень из семи делить на 4. P.s напишите как решить это задание.Буду благодарен!

Answer 1

По теореме о касательной и секущей:
$> в треугольнике AEM найдем EM по теореме косинусов: <img src=$
Также в треугольнике AEN найдем сторону EN:
$EN^2=AE^2+AN^2-2AE*AN*cos(BAC) \\EN^2=252+441-2*6\sqrt{7}*21* \frac{\sqrt{7}}{4} \\EN^2=693- \frac{2*7*21*6}{4}=693-441=252 \\EN=6\sqrt{7}$
так как EN=AE, то треугольник AEN - равнобедренный, следовательно угол EAN равен углу ENA.
используя основное тригонометрическое тождество найдем sin ENA:
$cos^2(ENA)+sin^2(ENA)=1 \\cos(ENA)=cos(EAN)= \frac{\sqrt{7}}{4} \\sin(ENA)=\sqrt{1-\frac{7}{16} }= \sqrt{ \frac{9}{16}} = \frac{3}{4}$
по теореме синусов найдем радиус окружности:
$2R= \frac{EM}{sin(ENA)} \\2R=12: \frac{3}{4} \\2R=16 \\R=8$
Ответ: R=8

Answer 2

Решение геометрической задачи

Для решения этой задачи, нам понадобится использовать теорему о касательной, проведенной к окружности из точки касания.

1. Найдем угол BAC: - Известно, что косинус угла BAC равен корню из семи, деленному на 4. - Найдем угол BAC, используя обратный косинус: - cos(BAC) = √7 / 4 - BAC = arccos(√7 / 4).

2. Найдем угол BCA: - Так как углы треугольника в сумме равны 180 градусам, то угол BCA = 180 - BAC - ACB.

3. Найдем радиус окружности: - Радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, равен половине отрезка MN. - Так как MN лежит на стороне AC треугольника ABC, то радиус окружности равен половине отрезка MN. - Найдем длину отрезка MN, используя теорему Пифагора: - MN = √(AM^2 + AN^2) = √(12^2 + 21^2) = √(144 + 441) = √585 = 3√65. - Таким образом, радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, равен 3√65 / 2.

4. Ответ: - Радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, равен 3√65 / 2.

Надеюсь, это решение поможет вам понять данную задачу!