Question

Интегралы.........................

Answer 1

$\int \frac{(x^2+1)dx}{x(x^2-10x+25)}=\int \frac{(x^2+1)dx}{x(x-5)^2}=I\\\\\frac{x^2+1}{x(x-5)^2}=\frac{A}{x}+\frac{B}{(x-5)^2}+\frac{C}{x-5}=\frac{A(x-5)^2+Bx+Cx(x-5)}{x(x-5)^2}\; \; \Rightarrow \\\\x=0,\; A=\frac{0+1}{(0-5)^2}=\frac{1}{25};\\\\x=5,\; B=\frac{5^2+1}{5}=\frac{26}{5};\\\\x^2\, |\, 1=A+C\, ;\; \; C=1-A=1-\frac{1}{25}=\frac{24}{25};$

$I=\int (\frac{1/25}{x}+\frac{26/5}{(x-5)^2}+\frac{24/25}{x-5})dx=\\\\=\frac{1}{25}\int \frac{dx}{x}+\frac{26}{5}\int (x-5)^{-2}dx+\frac{24}{25}\int \frac{dx}{x-5}=\\\\=\frac{1}{25}\cdot ln|x|+\frac{26}{5}\cdot \frac{(x-5)^{-1}}{-1}+\frac{24}{25}\cdot ln|x-5|+C=\\\\=\frac{1}{25}\cdot ln|x|-\frac{26}{5(x-5)}+\frac{24}{25}\cdot ln|x-5|+C$

P.S. Можно все коэффициенты  считать методом неопределенных коэффициентов. Здесь этим методом подсчитан только коэффициент С. А остальные с помощью придания переменным удобных значений (модификация метода неопред. коэффициентов).

Answer 2

Introduction to Integrals

Integrals are an important concept in calculus that allow us to find the area under a curve, calculate the accumulation of quantities over a given interval, and solve various mathematical problems. In this response, we will discuss integrals and provide some examples to help you understand them better.

The Fundamental Theorem of Calculus

The Fundamental Theorem of Calculus is a fundamental result in calculus that establishes a connection between differentiation and integration. It states that if a function is continuous on a closed interval [a, b] and F(x) is an antiderivative of f(x) on that interval, then the definite integral of f(x) from a to b is equal to F(b) - F(a).

Mathematically, the Fundamental Theorem of Calculus can be expressed as:

∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)

where f(x) is the integrand, F(x) is the antiderivative of f(x), and a and b are the limits of integration.

Evaluating Integrals

There are different methods for evaluating integrals, depending on the complexity of the integrand. Some common techniques include:

1. Direct Integration: This method involves finding the antiderivative of the integrand and evaluating it at the limits of integration. For example, to evaluate the integral ∫ (x^2 + 3x - 4)ln(x) dx, we can find the antiderivative of (x^2 + 3x - 4)ln(x) and evaluate it at the limits of integration.

2. Integration by Parts: Integration by parts is a technique used to integrate the product of two functions. It is based on the product rule of differentiation. The formula for integration by parts is:

∫ u dv = uv - ∫ v du

where u and v are functions of x, and du and dv are their differentials. This method is useful when the integrand can be expressed as a product of two functions.

3. Substitution Method: The substitution method involves making a substitution to simplify the integrand. This is done by substituting a new variable or expression for the original variable. The goal is to transform the integral into a simpler form that can be easily evaluated.

4. Trigonometric Substitution: Trigonometric substitution is a technique used to simplify integrals involving radical expressions. It involves substituting trigonometric functions for the original variable to simplify the integrand.

These are just a few of the methods used to evaluate integrals. The choice of method depends on the complexity of the integrand and the problem at hand.

Example Integrals

Let's look at a couple of examples to illustrate how integrals are evaluated:

1. Example 1: Evaluate the integral ∫ xsin(5x) dx.

To evaluate this integral, we can use integration by parts. Let u = x and dv = sin(5x) dx. By differentiating u and integrating dv, we can find du and v, respectively. Applying the integration by parts formula, we have:

∫ xsin(5x) dx = -1/5 x cos(5x) - ∫ (-1/5 cos(5x)) dx

Simplifying further, we get:

∫ xsin(5x) dx = -1/5 x cos(5x) + 1/25 sin(5x) + C

where C is the constant of integration.

2. Example 2: Evaluate the integral ∫ dx / (x(x-1)).

To evaluate this integral, we can use partial fraction decomposition. By decomposing the integrand into partial fractions, we can simplify the integral into a sum of simpler integrals. The decomposition for this integral is:

∫ dx / (x(x-1)) = ∫ (A/x + B/(x-1)) dx

Solving for A and B, we find that A = 1 and B = -1. Substituting these values back into the integral, we get:

∫ dx / (x(x-1)) = ∫ (1/x - 1/(x-1)) dx

= ln|x| - ln|x-1| + C

where C is the constant of integration.

These examples demonstrate the application of different integration techniques to evaluate integrals. Remember that practice is key to becoming proficient in solving integrals, as there are various methods and approaches depending on the integrand.

I hope this explanation helps! Let me know if you have any further questions.

Answer 3

Я могу помочь вам с решением интегралов разных видов. Вот некоторые источники, которые могут быть полезны для вас:

- Интегралы. Пошаговый калькулятор - MathDF. Этот сайт позволяет вам вводить любую функцию и получать ее интеграл с подробными объяснениями каждого шага. Вы можете выбрать тип интеграла (неопределенный, определенный, несобственный, криволинейный, двойной или тройной) и указать пределы интегрирования, если нужно. Также на сайте есть список математических функций и констант, которые вы можете использовать в своих выражениях. - ∫ Решение интегралов онлайн с подробным решением. Этот сервис также предлагает решать интегралы разных типов с пошаговым решением на русском языке. Вы можете ввести подинтегральное выражение и пределы интегрирования, а также выбрать метод решения (замена, интегрирование по частям, разложение на множители и т.д.). Кроме того, на сайте есть таблица интегралов, которая может помочь вам самостоятельно посчитать любой интеграл. - Интегралы для чайников: как понять и решать неопределенные и .... Это статья, в которой объясняется, что такое интегралы, зачем они нужны и как их решать. Вы найдете примеры и правила решения неопределенных и определенных интегралов, а также советы, как быстро понять и научиться вычислять интегралы.

Надеюсь, эта информация будет вам полезна. Если у вас есть конкретный пример интеграла, который вы хотите решить, вы можете отправить мне его, и я попробую помочь вам.