Question

Sin^2x+2sincosx-3cos^2x=0

Answer 1

sin²x + 2sinxcosx - 3cos²x = 0 | : cos²x

tg²x +2tgx - 3 = 0

Пусть tgx = t

t² + 2t - 3 = 0

D = 16 

t₁ = ( - 2 + 4)/2 = 1;

t₂ = ( - 2 - 4)/2 = - 3;

Обратная замена:

tgx = - 3

x₁ = - arctg3 + πk, k ∈ Z

tgx = 1

x₂ = π/4 + πk, k ∈ Z

Answer 2

Данное уравнение выглядит следующим образом:

sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0

Для решения этого уравнения, мы можем воспользоваться некоторыми тригонометрическими идентичностями и алгебраическими методами. Давайте посмотрим, как мы можем его решить.

Преобразование уравнения:

Для начала, давайте заменим sin(x) и cos(x) на другие тригонометрические функции. Мы можем воспользоваться следующими идентичностями:

sin^2(x) = 1 - cos^2(x)

2sin(x)cos(x) = sin(2x)

Подставим эти замены в исходное уравнение:

(1 - cos^2(x)) + sin(2x) - 3cos^2(x) = 0

Теперь раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

1 - cos^2(x) + sin(2x) - 3cos^2(x) = 0

1 - 4cos^2(x) + sin(2x) = 0

Замена переменной:

Давайте введем новую переменную, чтобы упростить уравнение. Обозначим cos(x) = t. Тогда мы можем переписать уравнение следующим образом:

1 - 4t^2 + sin(2x) = 0

Решение уравнения:

Теперь у нас уравнение сводится к квадратному уравнению относительно переменной t. Мы можем решить его с помощью алгебраических методов. Давайте продолжим.

-4t^2 + 1 + 2sin(x)cos(x) = 0

-4t^2 + 2 + sin(2x) = 0

-4t^2 + sin(2x) + 2 = 0

Формула решения квадратного уравнения:

Для решения квадратного уравнения вида at^2 + bt + c = 0, мы можем воспользоваться формулой:

t = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)

Подставим значения a, b и c из нашего квадратного уравнения:

t = (-2 ± √((-2)^2 - 4(-4)(2)))/(2(-4))

t = (-2 ± √(4 + 32))/(-8)

t = (-2 ± √36)/(-8)

t = (-2 ± 6)/(-8)

Теперь разделим на -2:

t = (2 ± 6)/8

t = 1/4, -1

Обратная замена:

Мы заменили cos(x) на t. Теперь давайте найдем значения cos(x) для каждого значения t.

Если t = 1/4, то:

cos(x) = 1/4

x = arccos(1/4) + 2πn, x = -arccos(1/4) + 2πn

Если t = -1, то:

cos(x) = -1

x = arccos(-1) + 2πn

Ответ:

Таким образом, уравнение sin^2(x) + 2sin(x)cos(x) - 3cos^2(x) = 0 имеет следующие решения:

x = arccos(1/4) + 2πn, x = -arccos(1/4) + 2πn, x = arccos(-1) + 2πn

где n - любое целое число. Это общие решения уравнения.