Question

Довести,что уравнения не равносильны

Answer 1

$x^{2} - \frac{1}{x+5} = 25 - \frac{1}{x+5} \\\ x \neq -5 \\\ x^{2} = 25 \\\ x=5 \\\\ x^{2} -25=0 \\\ x=\pm5$
Множества корней уравнений не совпадают, значит они не равносильны.

Answer 2

Два уравнения называются равносильными, если они имеют одинаковое множество решений. То есть, если для любого значения переменных, удовлетворяющего одному уравнению, найдется соответствующее значение переменных, удовлетворяющее другому уравнению, и наоборот.

Для доказательства того, что два уравнения не равносильны, достаточно привести пример, когда одно уравнение имеет решение, а другое не имеет его, или наоборот.

Например, рассмотрим уравнения: 1) x + 2 = 5 2) x - 3 = 0

Для уравнения (1) решение x = 3, а для уравнения (2) решение x = 3. Таким образом, оба уравнения имеют одинаковое решение, следовательно, они равносильны.

Теперь рассмотрим другие уравнения: 3) x^2 - 4 = 0 4) x - 2 = 0

Для уравнения (3) решениями будут x = 2 и x = -2, а для уравнения (4) решение x = 2. Таким образом, уравнение (3) имеет два решения, в то время как уравнение (4) имеет только одно решение. Следовательно, уравнения (3) и (4) не равносильны.

Таким образом, доказано, что уравнения могут быть не равносильными, если они имеют различное множество решений.