Question

Cos2x+cos4x+cos (П-3x)=0

Answer 1

Cos2x+cos4x+cos (П-3x)=0
$cos2x+cos4x+cos ( \pi -3x)=0 \\ cos2x+cos4x-cos (3x)=0$$(cos2x+cos4x)-cos3x=0$
$2cos \frac{2x+4x}{2}cos \frac{4x-2x}{2}-cos3x=0$
$2cos(3x)cosx-cos3x=0$
$cos3x(2cosx-1)=0$
$cos3x=0$         или        $2cosx-1 = 0$
$3x = \frac{ \pi }{2} + \pi n$              $cosx = \frac{1}{2}$
                                          $x = \frac{\pi }{3} + 2 \pi m$  и x = $-\frac{\pi }{3} + 2 \pi m$

Ответ:  $x = \frac{ \pi }{6} + \frac{\pi }{3}n$,  $x = \frac{\pi }{3} + 2 \pi m$, $x = -\frac{\pi }{3} + 2 \pi m$

Answer 2

Для решения уравнения cos(2x) + cos(4x) + cos(π-3x) = 0 нам понадобится использовать некоторые тригонометрические тождества и методы решения тригонометрических уравнений.

Начнем с использования тригонометрических тождеств для преобразования данного уравнения. Мы можем использовать следующие тождества:

1. cos(π - θ) = -cos(θ) (косинус комплементарного угла) 2. cos(A) + cos(B) = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2) (сумма косинусов)

Применим первое тождество к уравнению, заменив cos(π - 3x) на -cos(3x):

cos(2x) + cos(4x) - cos(3x) = 0

Теперь мы можем применить второе тождество к уравнению, заменив cos(2x) + cos(4x) на 2cos(3x)cos(-x):

2cos(3x)cos(-x) - cos(3x) = 0

Теперь факторизуем уравнение, вынесем cos(3x) за скобки:

cos(3x)(2cos(-x) - 1) = 0

Учитывая, что cos(-x) = cos(x), упростим уравнение:

cos(3x)(2cos(x) - 1) = 0

Теперь мы имеем два множителя, которые могут равняться нулю:

1. cos(3x) = 0 2. 2cos(x) - 1 = 0

Решение уравнения cos(3x) = 0

Для решения уравнения cos(3x) = 0 найдем значения x, удовлетворяющие этому условию.

Известно, что cos(θ) = 0 тогда и только тогда, когда θ = (2n + 1)π/2, где n - целое число.

Применяя это к нашему уравнению, получаем:

3x = (2n + 1)π/2

x = (2n + 1)π/6, где n - целое число.

Таким образом, для уравнения cos(3x) = 0 имеем бесконечное количество решений, задаваемых формулой x = (2n + 1)π/6, где n - целое число.

Решение уравнения 2cos(x) - 1 = 0

Для решения уравнения 2cos(x) - 1 = 0 найдем значения x, удовлетворяющие этому условию.

Выразим cos(x):

cos(x) = 1/2

Известно, что cos(x) = 1/2 тогда и только тогда, когда x = (2n + 1)π/3, где n - целое число.

Таким образом, для уравнения 2cos(x) - 1 = 0 имеем бесконечное количество решений, задаваемых формулой x = (2n + 1)π/3, где n - целое число.

Общее решение

Так как у нас есть два независимых уравнения, каждое из которых имеет бесконечное количество решений, общее решение исходного уравнения будет объединением всех этих решений:

x = (2n + 1)π/6 и x = (2n + 1)π/3, где n - целое число.

Таким образом, уравнение cos(2x) + cos(4x) + cos(π-3x) = 0 имеет бесконечное количество решений, задаваемых формулами x = (2n + 1)π/6 и x = (2n + 1)π/3, где n - целое число.