Question

Найти решение в интервале [0, 2π) 4cosx=−sin²x+1Запишите свой ответ в радианах

Answer 1

$4cosx=1-sin^{2}x$
$4cosx=cos^{2}x$
$cos^{2}x-4cosx=0$
$cosx*(cosx-4)=0$
1) $cosx=0$
$x= \frac{ \pi }{2}+ \pi k$
2) $cosx=4\ \textgreater \ 1$ - нет решений

Выберем корни из интервала [0; 2pi)
$0 \leq \frac{ \pi }{2}+ \pi k\ \textless \ 2 \pi$
$0 \leq \frac{1}{2}+k\ \textless \ 2$
$-\frac{1}{2} \leq k\ \textless \ 2-\frac{1}{2}$
$-\frac{1}{2} \leq k\ \textless \ \frac{3}{2}$, k∈Z
k=0, 1

k=0, $x_{1}= \frac{ \pi }{2}$
k=1, $x_{2}= \frac{ \pi }{2}+ \pi =\frac{3 \pi }{2}$

Answer 2

Для решения данного уравнения, давайте преобразуем его и найдем значения переменной x в интервале [0, 2π).

Уравнение, которое нам дано, выглядит следующим образом: 4cos(x) = -sin²(x) + 1

Для начала, преобразуем правую часть уравнения: -sin²(x) + 1 = cos²(x)

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение: 4cos(x) = cos²(x)

Затем, приведем уравнение к единому виду: cos²(x) - 4cos(x) = 0

Теперь факторизуем это уравнение: cos(x)(cos(x) - 4) = 0

Теперь у нас есть два уравнения, которые могут равняться нулю: cos(x) = 0 или cos(x) - 4 = 0

Посмотрим на первое уравнение cos(x) = 0. В интервале [0, 2π), значения x, при которых cos(x) равен нулю, это π/2 и 3π/2.

Теперь рассмотрим второе уравнение cos(x) - 4 = 0. Решая это уравнение, получим cos(x) = 4, что не имеет решений в области действительных чисел. Поэтому это уравнение не имеет решений в интервале [0, 2π).

Таким образом, решения уравнения 4cos(x) = -sin²(x) + 1 в интервале [0, 2π) равны π/2 и 3π/2, или в радианах около 1.57 и 4.71 соответственно.