Question

С3 В ЕГЭ 2^x+32*2^-x меньше или равно 33 2log9 (4x^2+1) меньше или равен log3 (3x^2+4x+1)

Answer 1

1)     2^x + 32*2^(-x) ≤ 33 умножаем на (2^x)
2^(2x) - 33*(2^x)  + 32 ≤ 0
a)  2^x = 32
2^x = 2^5
x₁ = 5
b)  2^x = 1
2^x = 2^0
x₂ = 0
x ∈ [0 ; 5]
Ответ: x ∈ [0 ; 5]

2) 2log₉ (4x²+1) ≤ log₃ (3x²+4x+1)
ОДЗ: 4x² + 1> 0 всегда
3x²+4x+1 > 0
D = 16 - 4*3*1 = 4
x₁ = (-4 - 2)/6
x₁ = - 1
x₂ = (-4 + 2)/6
x₂ = -1/3
x ∈ (- ∞ ; -1) (- 1/3 ; + ∞)
 log₃ (4x² + 1) ≤ log₃ (3x² + 4x + 1)
3 > 1
4x² + 1 ≤ 3x² + 4x + 1
4x² + 1 - 3x² - 4x - 1 ≤ 0
x² - 4x ≤ 0
x(x - 4) ≤ 0
x₁ = 0
x - 4 = 0
x₂ = 4
x ∈ [0 ;4] удовлетворяет ОДЗ
Ответ: x ∈ [0 ;4] 

Answer 2

Для начала решим неравенство 2^x + 32*2^(-x) ≤ 33.

Заметим, что это неравенство можно решить, преобразовав его квадратное уравнение относительно выражения 2^x. Для этого введем замену 2^x = t. Тогда неравенство примет вид t + 32/t ≤ 33.

Умножим обе части неравенства на t и получим квадратное уравнение t^2 - 33t + 32 ≤ 0. Решив это уравнение, получим корни t1 = 1 и t2 = 32.

Теперь подставим обратно t = 2^x. Получим два решения: 2^x = 1 и 2^x = 32. Отсюда x = 0 и x = 5.

Теперь рассмотрим неравенство 2log9(4x^2+1) ≤ log3(3x^2+4x+1).

Преобразуем левую часть неравенства, используя свойство логарифмов: log9(4x^2+1)^2. Теперь применим свойство логарифмов к правой части: log3(3x^2+4x+1) = log3((x+1)^2).

Теперь получаем неравенство 2log9(4x^2+1) ≤ log3((x+1)^2). Применим свойство логарифма к левой части: log9((4x^2+1)^2) ≤ log3((x+1)^2).

Теперь избавимся от логарифмов, применив экспоненту к обеим частям неравенства: (4x^2+1)^2/9 ≤ (x+1)^2/3.

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: 4x^4 + 2x^2 + 1 ≤ 3x^2 + 6x + 3.

Приведем подобные слагаемые и приведем уравнение к виду 4x^4 - x^2 - 6x + 2 ≤ 0.

Это уравнение квадратное относительно x^2. Решив его, получаем корни x^2 = -0.5 и x^2 = 1.5. Так как x^2 не может быть отрицательным, то рассматриваем только решение x^2 = 1.5.

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон: x = ±√1.5.

Итак, решениями исходного неравенства являются x = 0, x = 5, x = √1.5, x = -√1.5.