Question

Решить неравенство методом интервалов:1-2х<=3/х

Answer 1

$1-2x \leq \frac{3}{x}$
$1-2x-\frac{3}{x} \leq 0$
$\frac{x-2x^2-3}{x} \leq 0$
$\frac{2x^2-x+3}{x} \geq 0$
$2x^2-x+3>0$  для любого действительного х, так как коєфф a=2>0 (ветви верх) и $D=(-1)^2-4*2*3<0$ (график лежит выше оси Ох)
значит данное неравенство равносильно неравенству
x>0
отвте: $(0;+\infty)$

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(1 - 2x \leq \frac{3}{x}\) методом интервалов, мы должны учесть два случая: когда \(x > 0\) и когда \(x < 0\).

Решение для \(x > 0\):

Для этого случая мы можем перемножить обе части неравенства на \(x\), при условии \(x > 0\). Это не изменит знак неравенства, так как \(x\) положительное число. Получим: \[x - 2x^2 \leq 3.\] Теперь приведем это неравенство к квадратному виду: \[2x^2 - x + 3 \geq 0.\] Чтобы найти интервалы, где это квадратное неравенство выполняется, мы можем использовать график или метод дискриминанта. Дискриминант данного квадратного уравнения равен: \[D = (-1)^2 - 4(2)(3) = 1 - 24 = -23.\] Поскольку дискриминант отрицательный, уравнение не имеет реальных корней, и квадратное неравенство \(2x^2 - x + 3 \geq 0\) не выполняется для любого значения \(x > 0\).

Решение для \(x < 0\):

Для этого случая мы должны изменить направление неравенства, так как мы умножаем на отрицательное число при перемножении обеих частей неравенства на \(x\). Получим: \[x - 2x^2 \geq 3.\] Приведем это неравенство к квадратному виду: \[2x^2 - x - 3 \leq 0.\] Мы можем использовать график или метод дискриминанта для определения интервалов, где это квадратное неравенство выполняется. Дискриминант данного квадратного уравнения равен: \[D = (-1)^2 - 4(2)(-3) = 1 + 24 = 25.\] Поскольку дискриминант положительный, уравнение имеет два различных реальных корня. Решим его: \[x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2(2)} = \frac{1 \pm 5}{4}.\] Таким образом, получаем два корня: \(x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\) и \(x_2 = \frac{-4}{4} = -1\). Теперь, чтобы определить интервалы, где \(2x^2 - x - 3 \leq 0\), мы можем построить таблицу знаков, используя найденные корни: \[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline & 2x^2 - x - 3 & \\ \hline x < -1 & + & \\ \hline -1 < x < \frac{3}{2} & - & \\ \hline x > \frac{3}{2} & + & \\ \hline \end{array} \] Из таблицы знаков видно, что неравенство \(2x^2 - x - 3 \leq 0\) выполняется для \(x < -1\) и \(x > \frac{3}{2}\).

Общее решение:

Таким образом, общее решение неравенства \(1 - 2x \leq \frac{3}{x}\) методом интервалов будет: \[x < -1 \quad \text{или} \quad x > \frac{3}{2}.\]