Question

Пользуясь определением , найдите производную функции f(x) в точке x0 f(x)=1-4x,x0=3 найдите производную функции f(x)=(x2+5)(x3-2x+2) f(x)= (x2-3x)/(1-2x) f(x)=(3-2x3)5

Answer 1

Пользуясь определением , найдите производную функции f(x) в точке x0

f(x)=1-4x,x0=3

  Решение:

Используя определение производной, имеем

$f'(x_0)=\displaystyle \lim_{зx\to0}\frac{f(x_0+зx)-f(x_0)}{зx}=\lim_{зx\to0}\frac{1-4(x_0+зx)-1+4x_0}{зx}=\\ \\ \lim_{зx\to0}\frac{1-4x_0-4зx-1+4x_0}{зx}=-\lim_{зx\to0}\frac{4зx}{зx}=-4$

найдите производную функции

f(x)=(x^2+5)(x^3-2x+2)

f(x)= (x^2-3x)/(1-2x)

f(x)=(3-2x^3)^5

  Решение:

$f'(x)=(x^2+5)'(x^3-2x+2)+(x^2+5)(x^3-2x+2)'=\\ =2x(x^3-2x+2)+(x^2+5)(3x^2-2)=2x^4-4x^2+4x+3x^4+13x^2-10=\\ =5x^4+9x^2+4x-10$

$f'(x)=\dfrac{(x^2-3x)'(1-2x)-(x^2-3x)(1-2x)'}{(1-2x)^2}=\\ \\ =\dfrac{(2x-3)(1-2x)+2(x^2-3x)}{(1-2x)^2}=\dfrac{-4x^2+8x-3+2x^2-6x}{(1-2x)^2}=\\ \\ =\dfrac{-2x^2+2x-3}{(1-2x)^2}$

$f'(x)=((3-2x^3)^5)'=5(3-2x^3)^4\cdot(3-2x^3)'=-30x^2(3-2x^3)^4$

Answer 2

Для нахождения производной функции в заданной точке x0, нам необходимо использовать определение производной. Производная функции f(x) в точке x0 определяется как предел отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении приращения аргумента к нулю:

f'(x0) = lim(h->0) [(f(x0 + h) - f(x0)) / h]

Теперь давайте применим это определение к каждой из заданных функций.

f(x) = 1 - 4x, x0 = 3

Для начала, найдем значение функции f(x) в точке x0:

f(x0) = 1 - 4x0 = 1 - 4 * 3 = 1 - 12 = -11

Теперь найдем производную функции f(x) в точке x0, используя определение производной:

f'(x0) = lim(h->0) [(f(x0 + h) - f(x0)) / h]

Подставим значения функции f(x) и точки x0:

f'(3) = lim(h->0) [(f(3 + h) - f(3)) / h]

f(3 + h) = 1 - 4(3 + h) = 1 - 12 - 4h = -11 - 4h

Теперь вычислим разность функций:

[f(3 + h) - f(3)] = [-11 - 4h - (-11)] = -11 - 4h + 11 = -4h

Подставим обратно в определение производной:

f'(3) = lim(h->0) [-4h / h]

Теперь сократим h:

f'(3) = lim(h->0) [-4]

Таким образом, производная функции f(x) в точке x0 = 3 равна -4.

f(x) = (x^2 + 5)(x^3 - 2x + 2)

Для нахождения производной этой функции, мы можем использовать правило производной произведения двух функций. Правило гласит:

(d/dx) [f(x) * g(x)] = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

f'(x) = (2x)(x^3 - 2x + 2) + (x^2 + 5)(3x^2 - 2)

Теперь подставим x = x0 и найдем значение производной в точке x0.

f(x) = (x^2 - 3x) / (1 - 2x)

Для нахождения производной этой функции, мы можем использовать правило производной частного двух функций. Правило гласит:

(d/dx) [f(x) / g(x)] = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / (g(x))^2

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

f'(x) = [(2x - 3)(1 - 2x) - (x^2 - 3x)(-2)] / (1 - 2x)^2

Теперь подставим x = x0 и найдем значение производной в точке x0.

f(x) = (3 - 2x^3)^5

Для нахождения производной этой функции, мы можем использовать правило производной степенной функции. Правило гласит:

(d/dx) [f(x)^n] = n * (f(x))^(n-1) * f'(x)

Применяя это правило к нашей функции, получаем:

f'(x) = 5 * (3 - 2x^3)^(5-1) * (-6x^2)

Теперь подставим x = x0 и найдем значение производной в точке x0.