Question

∫(от 0 до π/6) cos2xdx ∫(от 0 до 2) (x^2+3x-2) dx ∫(2x+7)^9 dx

Answer 1

1)=1/2*sin2x=1/2*sinπ/3 -1/2*sin0=1/2*√3/2=√3/4
2)=x³/3+3x²/2-2x=8/3+6-4=4 2/3
3)=$(2x+7) ^{10} /20$+C

Answer 2

Давайте рассмотрим каждый из интегралов поочередно:

1. \(\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(2x) \, dx\):

Интегрируем по частям, где \(u = \cos(2x)\) и \(dv = dx\):

\[du = -2\sin(2x) \, dx\] \[v = x\]

Применяем формулу интегрирования по частям:

\[\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(2x) \, dx = uv \Big|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} v \, du\] \[= x\cos(2x) \Big|_{0}^{\frac{\pi}{6}} - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} x(-2\sin(2x)) \, dx\] \[= \frac{\pi}{6}\cos\left(\frac{\pi}{3}\right) - \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} -2x\sin(2x) \, dx\]

Далее, можно интегрировать по частям снова для второго члена. Оставляю это вам в качестве упражнения.

2. \(\int_{0}^{2} (x^2 + 3x - 2) \, dx\):

Интегрируем каждый член по отдельности:

\[\int_{0}^{2} x^2 \, dx + \int_{0}^{2} 3x \, dx - \int_{0}^{2} 2 \, dx\]

\[= \frac{1}{3}x^3 \Big|_{0}^{2} + \frac{3}{2}x^2 \Big|_{0}^{2} - 2x \Big|_{0}^{2}\]

\[= \frac{1}{3}(2^3 - 0^3) + \frac{3}{2}(2^2 - 0^2) - 2(2 - 0)\]

3. \(\int (2x + 7)^9 \, dx\):

Используем формулу степенного интеграла:

\[\frac{1}{n+1}(2x + 7)^{n+1} + C\]

где \(n+1\) - степень, \(C\) - постоянная интегрирования. Здесь \(n = 9\), поэтому:

\[\frac{1}{10}(2x + 7)^{10} + C\]

Теперь, если у вас есть конкретные значения для пределов интегрирования в этих выражениях, вы можете вычислить численное значение каждого из интегралов.