Question

Найти наибольшее значение многочлена:x^2+4xy+5y^2+4y+2

Answer 1

$x^2+4xy+5y^2+4y+2=\\ (x+2y)^2+y^2+4y+2=\\ (x+2y)^2+(y+2)^2-2$
теперь очевидно что сразу так не скажешь какое максимальное значение может принимать  данное выражение так как мы можем брать абсолютно разные переменные и получать разные значения, а вот минимум  равен -2 

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение данного многочлена, давайте рассмотрим его выражение:

\[ P(x, y) = x^2 + 4xy + 5y^2 + 4y + 2 \]

Мы видим, что это квадратичная форма, зависящая от переменных \(x\) и \(y\). Это можно рассматривать как функцию от двух переменных. Чтобы найти наибольшее значение этой функции, нужно рассмотреть её критические точки.

Для этого найдем частные производные функции \(P(x, y)\) по переменным \(x\) и \(y\) и приравняем их к нулю:

\[\frac{\partial P}{\partial x} = 2x + 4y = 0\] \[\frac{\partial P}{\partial y} = 4x + 10y + 4 = 0\]

Решим эту систему уравнений. Сначала из первого уравнения можно выразить \(x\):

\[2x + 4y = 0 \implies x = -2y\]

Теперь подставим это значение \(x\) во второе уравнение:

\[4(-2y) + 10y + 4 = 0\] \[-8y + 10y + 4 = 0\] \[2y + 4 = 0\] \[y = -2\]

Теперь найдем значение \(x\) с использованием найденного \(y\):

\[x = -2y = -2(-2) = 4\]

Таким образом, критическая точка, в которой частные производные равны нулю, это \((4, -2)\).

Далее, чтобы определить, является ли это точка минимумом, максимумом или седловой точкой, можно воспользоваться вторыми производными (матрица Гессе). Однако, в данном случае, можно заметить, что коэффициент при \(x^2\) положителен, что означает, что это точка минимума. Таким образом, многочлен принимает наименьшее значение в точке \((4, -2)\).

Теперь, чтобы найти это значение, подставим \(x = 4\) и \(y = -2\) в исходное выражение:

\[P(4, -2) = 4^2 + 4(4)(-2) + 5(-2)^2 + 4(-2) + 2\]

Вычислим:

\[P(4, -2) = 16 - 32 + 20 - 8 + 2 = -2\]

Таким образом, наименьшее значение многочлена \(P(x, y)\) равно \(-2\) и достигается в точке \((4, -2)\).