Question

2sin^4x +3cos2x + 1=0 [pi;3pi]Я решил получилось x=+-pi/2+2pi*kПомогите отобрать корни

Answer 1

$\frac{3 \pi }{2} ; \frac{5 \pi }{2}$

Answer 2

Давайте рассмотрим уравнение более подробно:

\[2\sin^4(x) + 3\cos(2x) + 1 = 0\]

Для начала, преобразуем выражение, используя тригонометрические тождества:

\[2\sin^4(x) + 3(1 - 2\sin^2(x)) + 1 = 0\]

Раскроем скобки и упростим:

\[2\sin^4(x) - 6\sin^2(x) + 4 = 0\]

Теперь давайте введем замену, чтобы упростить уравнение. Обозначим \(y = \sin^2(x)\), тогда уравнение примет вид:

\[2y^2 - 6y + 4 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение. Используем квадратное уравнение вида \(ay^2 + by + c = 0\), где \(a = 2\), \(b = -6\), и \(c = 4\). Формула для нахождения корней:

\[y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

Подставим значения:

\[y = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(2)(4)}}{2(2)}\]

\[y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{4}\]

\[y = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{4}\]

Таким образом, у нас есть два значения \(y\):

1. \(y_1 = \frac{6 + 2}{4} = 2\) 2. \(y_2 = \frac{6 - 2}{4} = 1\)

Теперь, вернемся к исходной переменной \(\sin^2(x)\):

1. \(\sin^2(x) = 2\) 2. \(\sin^2(x) = 1\)

Оба значения \(y\) лежат в диапазоне [0, 1], поэтому у нас есть решения.

Для случая \(\sin^2(x) = 2\), у нас нет реальных корней, так как \(\sin^2(x)\) не может быть больше 1.

Для случая \(\sin^2(x) = 1\), мы имеем два возможных значения:

1. \(\sin(x) = 1\) (так как \(\sin^2(x) = 1\)) 2. \(\sin(x) = -1\) (также \(\sin^2(x) = 1\))

Теперь, найдем углы \(x\) для этих значений синуса в заданном интервале \([ \pi, 3\pi]\).

1. \(\sin(x) = 1\) соответствует \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число. 2. \(\sin(x) = -1\) соответствует \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, у нас есть два набора корней:

1. \(x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число. 2. \(x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Обратите внимание, что эти углы \(x\) лежат в пределах указанного вами интервала \([ \pi, 3\pi]\).