Question

Зная, что cos a(альфа) = - 12/13, 3pi/2 < a < 2pi, найдите tg (pi/4 - a).

Answer 1

По условию 3π/2<α<2π 
это IV четверть где cosα>0 и sinα<0

значит cosα=¹²/₁₃

найти tg(π/4-α)

решение:

$\displaystyle sin^2a+cos^2a=1\\\\sina= \sqrt{1-cos^2a}= \sqrt{1-( \frac{12}{13})^2}= \sqrt{1- \frac{144}{169}}= \sqrt{ \frac{25}{169}}=| \frac{5}{13}|\\\\sina\ \textless \ 0\\\\sina=- \frac{5}{13}\\\\tga= \frac{sina}{cosa}= \frac{-5}{13}: \frac{12}{13}=- \frac{5}{12}\\\\tg( \frac{ \pi }{4}-a)= \frac{tg( \pi /4)-tga}{1+tg( \pi /4)*tga}= \frac{1-( \frac{-5}{12})}{1+1( \frac{-5}{12})}=\\\\= \frac{ \frac{17}{12}}{ \frac{7}{12}}= \frac{17}{7}$

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать тригонометрические тождества, чтобы выразить tg(π/4 - a) через cos(a).

Тождество тангенса разности углов гласит: tg(α - β) = (tg α - tg β) / (1 + tg α * tg β)

Мы знаем, что cos(a) = -12/13, а 3π/2 < a < 2π. Мы можем использовать это, чтобы найти sin(a).

Так как cos(a) = -12/13, мы можем использовать тождество Пифагора: sin^2(a) + cos^2(a) = 1. Заменяя cos(a) на -12/13 в этом тождестве, мы получаем: sin^2(a) + (-12/13)^2 = 1. Решая это уравнение, мы найдем sin(a).

sin^2(a) + 144/169 = 1 sin^2(a) = 1 - 144/169 sin^2(a) = 25/169 sin(a) = ±√(25/169) sin(a) = ±5/13

Так как 3π/2 < a < 2π, и sin(a) > 0, мы можем заключить, что sin(a) = 5/13.

Теперь мы можем использовать найденные значения sin(a) и cos(a), чтобы найти tg(π/4 - a).

tg(π/4 - a) = (tg(π/4) - tg(a)) / (1 + tg(π/4) * tg(a))

Значение tg(π/4) равно 1, поскольку tg(π/4) = sin(π/4)/cos(π/4) = 1/1 = 1.

tg(π/4 - a) = (1 - tg(a)) / (1 + tg(a))

Теперь мы можем подставить значение tg(a) в это уравнение.

tg(a) = sin(a)/cos(a) = (5/13)/(-12/13) = -5/12

tg(π/4 - a) = (1 - (-5/12)) / (1 + (-5/12)) tg(π/4 - a) = (1 + 5/12) / (1 - 5/12) tg(π/4 - a) = (12/12 + 5/12) / (12/12 - 5/12) tg(π/4 - a) = 17/12 / 7/12 tg(π/4 - a) = (17/12) * (12/7) tg(π/4 - a) = 17/7

Таким образом, получаем, что tg(π/4 - a) = 17/7.