Question

Найти количество таких натуральных n⩽50, что число (n−1)! не делится на n^2. Здесь n! — произведение натуральных чисел от 1 до n.

Answer 1

Если n можно представить в k*m, где k,m∈N; k≠1; m≠1; k≠n; m≠n
то в (n−1)! найдутся k и m 
 
вполне логично, что при n-простое не выполняется, т.к.  в
n не будет делиться ни на один множитель из (n-1)!
следовательно
n=2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43(14чисел) 
число (n−1)! не делится на n^2
теперь рассмотрим простые число умноженное на 2
то есть
n=4,6,10,14,22,26,34,38,46 и все остальные будут больше 50
рассмотрим представим n как 2*p, где p-простое число 
n²=4p²
в (2p−1)! найдется одно p, но вот второе p будет только уже при 2p чего в произведении нет
значит при
n=4,6,10,14,22,26,34,38,46(9чисел)
число (n−1)! не делится на n^2
а если рассматривать простые числа *3 то в (n−1)! найдутся 2 простых числа там где p*1 и p*2
получается всего 23 чисел
Ответ:23

Answer 2

Число 1 исключаем. - Рассмотрим это: (n-1)!/n²=n!/n³. Разложим в произведение-ряд. Посмотрим на простое число p: p!/p³=1*2*3*...p/p³. Т.к. в ряду 1*2*3*...*p нет еще 2 p, то при его делении на p³ получим дробное число. Простые числа: до 50: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47 - 15 штук - их включаем. - Рассмотрим составные числа pq, где p>q>2. В разложении (pq)! число p встретится больше или равно 3 раз, т.к. q>3, а q встретится более или равно p>>3 раз, значит (pq)! делится на (pq)^3. Это числа: 15, 21, 33, 39; 35 -их исключаем. - Рассмотрим составные числа p², где p - простое, в разложении (p^2)! p должно встречаться не менее 6 раз. Для чисел p>5 - 49, 25 это выполняется - их исключаем. Числа 4, 9 - включаем. - Рассмотрим числа np, p - простое, n - больше 1 и не простое (кроме 2). Если n=2, то p мы не встретим в разложении (np)! более 2 раз - числа: 6, 10, 14, 22, 26, 34, 38, 46 - включаем. Если же n не равно 2, то в разложении (np)! встретим p более n>3 раз - их исключаем: 12, 18, 20, 24, 28, 30, 36, 40, 42, 44, 45, 48, 50. Степени простых чисел, большие второй, рассматриваем отдельно: включаем 8, исключаем: 16, 27, 32. Включенных - искомых чисел - 26.

Answer 3

Для нахождения количества таких натуральных чисел n, при которых число (n-1)! не делится на n^2, нужно последовательно проверить каждое натуральное число от 1 до 50.

Для начала, рассмотрим какие значения может принимать n:

- Если n = 1, то невозможно вычислить (n-1)!, так как это будет 0!, что равно 1 по определению. При этом n^2 = 1^2 = 1. Поэтому для n = 1 условие не выполняется.

- Если n ≥ 2, то (n-1)! будет равно произведению всех натуральных чисел от 1 до (n-1). Если (n-1)! не делится на n^2, это означает, что оно не делится ни на n, ни на n-1. Так как n и n-1 являются соседними числами, то для того, чтобы (n-1)! не делилось на n^2, необходимо, чтобы оба этих числа были простыми. Это происходит только в случае, когда n - простое число.

Таким образом, для нахождения количества таких натуральных чисел n ≤ 50, что (n-1)! не делится на n^2, нужно найти количество простых чисел в диапазоне от 2 до 50.

Для этого, можно воспользоваться решетом Эратосфена. Создадим список из 50 элементов, каждый из которых изначально равен True. Затем будем последовательно обрабатывать числа от 2 до 50, и если число i является простым (т.е. значение списка для этого числа равно True), то устанавливаем False для всех его кратных чисел (включая i). В конце, количество оставшихся True в списке и будет являться количеством простых чисел от 2 до 50.

Вот Python код, реализующий описанный алгоритм:

def count_numbers():
    # Создаем список с 50 элементами, каждый из которых равен True
    is_prime = [True] * 50
    is_prime[0] = False  # Число 1 не является простым

# Вычеркиваем составные числа с помощью решета Эратосфена
    for i in range(2, int(50**0.5) + 1):
        if is_prime[i - 1]:
            for j in range(i**2, 51, i):
                is_prime[j - 1] = False

# Подсчитываем количество простых чисел
    count = sum(is_prime)
    return count

# Вызываем функцию count_numbers() и печатаем результат
print(count_numbers())

Результат выполнения этого кода будет равен 15, т.е. количество таких натуральных чисел n ≤ 50, что (n-1)! не делится на n^2, равно 15.