Question

вычислите площадь фигуры ограниченной линиямиу=2х ^2. y=3-x^2

Answer 1

$2x^2=3-x^2 \\ 3x^2=3 \\ x^2=1 \\ x=б1 \\ \\ S=\int\limits_{-1}^1(3-x^2-2x^2)dx=\int\limits_{-1}^1(3-3x^2)dx=(3x-x^3)[_{-1}^1= \\ \\ = 3*1-1^3-3*(-1)+(-1)^3=3-1+3-1=4$

 

Ответ: 4 кв ед

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной двумя кривыми, необходимо найти точки пересечения этих кривых.

Для начала найдем точки пересечения кривых у=2х^2 и y=3-x^2:

2x^2 = 3 - x^2

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

3x^2 + x^2 = 3

4x^2 = 3

x^2 = 3/4

x = ±√(3/4) = ±√3/2

Теперь найдем соответствующие y-координаты для каждого значения x:

1) При x = √3/2: y = 3 - (√3/2)^2 = 3 - 3/4 = 9/4

2) При x = -√3/2: y = 3 - (-√3/2)^2 = 3 - 3/4 = 9/4

Таким образом, точки пересечения графиков этих функций: (√3/2, 9/4) и (-√3/2, 9/4).

Теперь построим график этих функций и фигуру, ограниченную этими кривыми.

Так как у=2х^2 - парабола с вершиной в (0,0) и направленной вверх, а y=3-x^2 - парабола с вершиной в (0,3) и направленная вниз, то фигура будет представлять собой закрытую область, ограниченную этими двумя кривыми.

Для вычисления площади этой фигуры нужно найти площадь между этими двумя кривыми на заданном интервале x.

Для этого интегрируем разность этих функций на интервале [-√3/2, √3/2]:

S = ∫(от -√3/2 до √3/2) (3-x^2) - (2x^2) dx

S = ∫(от -√3/2 до √3/2) (3 - 3x^2 - 2x^2) dx

S = ∫(от -√3/2 до √3/2) (3 - 5x^2) dx

S = [3x - (5/3)x^3] (от -√3/2 до √3/2)

S = [3(√3/2) - (5/3)(√3/2)^3] - [3(-√3/2) - (5/3)(-√3/2)^3]

S = [(3√3 - 5(√3/2)^3) - (3√3 + 5(√3/2)^3]

S = [(3√3 - 5(3√3)/8) - (3√3 + 5(3√3)/8)]

S = [-4√3/8 - 4√3/8]

S = -8√3/8

S = -√3

Значение площади фигуры ограниченной линиями у=2х^2 и y=3-x^2 равно -√3.