Question

Решите методом подстановки систему уравнений: 2x^2-y^2=14, 3x+2y=5,

Answer 1

3x+2y=5
2y=5-3x
y=2,5-1,5x
2x²-(2,5-1,5x)²=14
2x²-6,25+7,5x-2,25x²-14=0
-0,25x²+7,5x-20,25=0
x²-30x+81=0
x1+x2=30 U x1+x2=81
x1=3 ⇒y1=2,5-4,5=-2
x2=27⇒y2=2,5-40,5=-38
(3;-2);(27;-38)

Answer 2

Конечно, давайте решим эту систему уравнений методом подстановки.

У нас есть система уравнений:

1) \(2x^2 - y^2 = 14\) 2) \(3x + 2y = 5\)

Давайте выразим \(y\) из второго уравнения через \(x\):

\(2y = 5 - 3x\) \(y = \frac{5 - 3x}{2}\)

Теперь подставим это выражение для \(y\) в первое уравнение:

\(2x^2 - \left(\frac{5 - 3x}{2}\right)^2 = 14\)

Давайте решим это уравнение.

Сначала раскроем квадрат в скобках:

\(2x^2 - \frac{(5 - 3x)^2}{4} = 14\)

Раскроем квадрат в числителе:

\(2x^2 - \frac{25 - 30x + 9x^2}{4} = 14\)

Умножим обе стороны уравнения на 4, чтобы избавиться от знаменателя:

\(8x^2 - (25 - 30x + 9x^2) = 56\)

Распределим минус:

\(8x^2 - 25 + 30x - 9x^2 = 56\)

Сгруппируем подобные члены:

\(-x^2 + 30x - 25 = 56\)

Перенесём все члены в одну сторону:

\(-x^2 + 30x - 25 - 56 = 0\)

\(-x^2 + 30x - 81 = 0\)

Теперь давайте решим это квадратное уравнение. Используем метод дискриминанта:

Дискриминант (\(D\)) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равен \(D = b^2 - 4ac\).

У нас есть уравнение \(-x^2 + 30x - 81 = 0\), где \(a = -1\), \(b = 30\) и \(c = -81\).

\(D = 30^2 - 4(-1)(-81) = 900 - 324 = 576\)

Так как дискриминант \(D\) положителен, у уравнения есть два корня.

Теперь используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

\[x = \frac{-30 \pm \sqrt{576}}{2(-1)}\]

\[x = \frac{-30 \pm 24}{-2}\]

\[x_1 = \frac{-30 + 24}{-2} = \frac{-6}{-2} = 3\]

\[x_2 = \frac{-30 - 24}{-2} = \frac{-54}{-2} = 27\]

Итак, получили два значения \(x\): \(x = 3\) и \(x = 27\).

Теперь найдём соответствующие значения \(y\) для каждого из \(x\), используя \(y = \frac{5 - 3x}{2}\):

Для \(x = 3\): \[y = \frac{5 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{5 - 9}{2} = \frac{-4}{2} = -2\]

Для \(x = 27\): \[y = \frac{5 - 3 \cdot 27}{2} = \frac{5 - 81}{2} = \frac{-76}{2} = -38\]

Таким образом, решение системы уравнений методом подстановки даёт нам две пары значений \(x\) и \(y\): \(x = 3, y = -2\) и \(x = 27, y = -38\).