Question

Сумма первого и третьего членов геометрической прогрессии равна 10,а сумма четвертого и шестого членов равна 80.Найдите первый член прогрессии!

Answer 1

                                               

Answer 2

Пусть \( a \) — первый член геометрической прогрессии, \( r \) — её знаменатель (отношение любого члена к предыдущему).

Общий вид \( n \)-го члена геометрической прогрессии выглядит как \( a_n = a \cdot r^{(n-1)} \).

Исходя из условия:

1. \( a_1 + a_3 = 10 \) 2. \( a_4 + a_6 = 80 \)

Подставим формулу \( a_n = a \cdot r^{(n-1)} \) в данные уравнения:

1. \( a + ar^2 = 10 \) 2. \( ar^3 + ar^5 = 80 \)

Мы можем воспользоваться первым уравнением для выражения \( a \) через \( r \):

\( a = \frac{10}{1 + r^2} \) (1)

Теперь подставим \( a \) из уравнения (1) во второе уравнение:

\( \frac{10r^3}{1 + r^2} + \frac{10r^5}{1 + r^2} = 80 \)

Умножим обе части уравнения на \( 1 + r^2 \), чтобы избавиться от дробей в знаменателе:

\( 10r^3 + 10r^5 = 80(1 + r^2) \) \( 10r^5 + 10r^3 - 80 - 80r^2 = 0 \) \( 10r^5 - 80r^2 + 10r^3 - 80 = 0 \) \( r^2(10r^3 - 80) + 10(r^3 - 8) = 0 \) \( r^2(10(r^3 - 8)) + 10(r^3 - 8) = 0 \) \( (r^2 + 10)(r^3 - 8) = 0 \)

Таким образом, мы получили два уравнения:

1. \( r^2 + 10 = 0 \) 2. \( r^3 - 8 = 0 \)

Решим уравнение \( r^2 + 10 = 0 \):

\( r^2 = -10 \) \( r = \sqrt{-10} \) (решения нет в действительных числах, так как корень из отрицательного числа в действительных числах невозможен)

Теперь решим уравнение \( r^3 - 8 = 0 \):

\( r^3 = 8 \) \( r = \sqrt[3]{8} \) \( r = 2 \)

Теперь, когда мы нашли \( r = 2 \), можем использовать уравнение (1) для нахождения \( a \):

\( a = \frac{10}{1 + 2^2} = \frac{10}{5} = 2 \)

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен \( a = 2 \).