Question

8 sin 3x cos 3x >= 2sqrt3

Answer 1

$8\sin3x\cos3x\geq2\sqrt3;\\ 4\cdot2\sin3x\cos3x\geq2\sqrt3;\\ 4\cdot\sin6x\geq2\sqrt3;\\ \sin6x\geq\frac{2\sqrt3}{4};\\ \sin6x\geq\frac{\sqrt3}{2};\\ \frac{\pi}{3}+2\pi n\leq6x\leq\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\ \ \ n\in Z;\\ \frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3}\leq x\leq\frac{2\pi}{18}+\frac{\pi n}{3},\ \ \ n\in Z;\\\\ x\in\left[\frac{\pi}{18}+\frac{\pi n}{3};\frac{\pi}{9}+\frac{\pi n}{3}\right],\ \ \ n\in Z.$

Answer 2

Чтобы решить неравенство 8sin(3x) + cos(3x) >= 2sqrt(3), мы можем использовать свойства тригонометрических функций и алгебры.

Давайте разберемся с этим неравенством поэтапно:

Шаг 1: Преобразование неравенства.

Мы можем заметить, что у нас есть только одна переменная, x. Поэтому мы можем рассматривать это неравенство как функцию от x и решать его, как обычное уравнение.

Шаг 2: Поиск значений x.

Для начала, давайте найдем значения x, при которых равенство 8sin(3x) + cos(3x) = 2sqrt(3) выполняется. Это поможет нам понять, какие значения x нужно исключить из решения.

Мы можем использовать тригонометрическую формулу для суммы углов: sin(A + B) = sin(A)cos(B) + cos(A)sin(B)

Применяя эту формулу к нашему неравенству, мы получаем: 8sin(3x) + cos(3x) = 2sin(60°)

Так как sin(60°) = sqrt(3)/2, мы можем заменить правую часть уравнения: 8sin(3x) + cos(3x) = 2sqrt(3)

Таким образом, равенство выполняется при 3x = 60° + 360°k, где k - целое число.

Шаг 3: Решение неравенства.

Теперь, когда мы знаем значения x, при которых равенство выполняется, мы можем рассмотреть неравенство.

Нам нужно найти значения x, при которых неравенство 8sin(3x) + cos(3x) >= 2sqrt(3) выполняется.

Мы можем использовать геометрическую интерпретацию тригонометрических функций, чтобы найти значения x.

Функция sin(x) представляет собой значения y на окружности с центром в начале координат (0, 0) и радиусом 1. Функция cos(x) представляет собой значения x на той же окружности.

Таким образом, неравенство 8sin(3x) + cos(3x) >= 2sqrt(3) означает, что вертикальная составляющая (8sin(3x)) должна быть больше или равна sqrt(3), а горизонтальная составляющая (cos(3x)) должна быть больше или равна 0.

Шаг 4: Решение неравенства.

Мы можем использовать график тригонометрических функций, чтобы найти значения x, удовлетворяющие неравенству.

На интервале от 0 до 2π (или от 0 до 360°), sin(3x) достигает максимального значения sqrt(3)/2 при x = 60° (или x = π/6).

Также, cos(3x) является горизонтальной линией, которая всегда больше или равна 0.

Таким образом, для решения неравенства 8sin(3x) + cos(3x) >= 2sqrt(3), мы ищем значения x, для которых sin(3x) больше или равно sqrt(3)/16 и cos(3x) больше или равно 0.

Итак, решение неравенства будет включать все значения x, которые удовлетворяют следующим условиям: 1. 3x >= 60° + 360°k, где k - целое число. 2. sin(3x) >= sqrt(3)/16. 3. cos(3x) >= 0.

Это можно записать в виде: x >= (60° + 360°k)/3, где k - целое число. sin(3x) >= sqrt(3)/16. cos(3x) >= 0.

Таким образом, решение неравенства 8sin(3x) + cos(3x) >= 2sqrt(3) будет состоять из всех значений x, которые удовлетворяют этим условиям.