Question

Приведите пример иррационального биквадратного уравнения, в котором все четыре корня были бы посторонними, или докажите, что такого уравнения не существует. Если даете пример, то если не трудно с решением.

Answer 1

√(3x⁴-9x²+10)=x²-3
3x⁴-9x²+10=(x²-3)²
3x⁴-9x²+10=x⁴-6x²+9
2x⁴-3x²+1=0, t=x²
2t²-3t+1=0
D=9-2·4=1
t₁=(3-1)/4=1/2  значит  x₁=1/√2, x₂=-1/√2
t₂=(3+1)/4=1  значит  x₃=1, x₄=-1
Все  эти корни при подстановке в правую часть уравнения дают отрицательное число, т.е. не являются решениями.исходного уравнения.

Answer 2

Иррациональное биквадратное уравнение имеет вид ax^4 + bx^2 + c = 0, где a, b и c - рациональные числа, а x - неизвестное.

Докажем, что в данном уравнении не может быть всех четырех корней посторонними.

Пусть корни уравнения суть x1, x2, x3 и x4. Тогда, по определению корня, уравнение принимает вид:

a(x - x1)(x - x2)(x - x3)(x - x4) = 0.

Выполнив умножение, получим:

a(x^4 - (x1+x2+x3+x4)x^3 + (x1x2+x1x3+x1x4+x2x3+x2x4+x3x4)x^2 - (x1x2x3+x1x2x4+x1x3x4+x2x3x4)x + x1x2x3x4) = 0.

Так как коэффициенты a, x1, x2, x3, x4 - рациональные числа, то каждое из слагаемых в скобках также должно быть рациональным числом.

Пусть зафиксируем один из корней, например, x1. Тогда (x - x1) - рациональное число только в одном случае: если x также является рациональным числом.

Таким образом, уравнение ax^4 + bx^2 + c = 0 имеет хотя бы один рациональный корень. А значит, не может иметь четыре посторонних иррациональных корня.

Следовательно, искомого уравнения не существует.