Question

Вирішіть систему рівнянь X^+xy-12y^=0 2x^-3xy+y2=90

Answer 1

$\left \{ {{x^2+xy-12y^2=0} \atop {2x^2-3xy+y^2=90}} \right. \\\\x^2+xy-12y^2=0\; |:y^2\ne 0\\\\\frac{x^2}{y^2}+ \frac{x}{y} -12=0\; ,\; \; \; ( \frac{x}{y} )^2+ \frac{x}{y} -12=0\; ,\; \; \; t= \frac{x}{y} \\\\t^2+t-12=0\; \; \; \Rightarrow \; \; \; t_1=-4\; ,\; \; t_2=3\; \; (teorema\; Vieta)\\\\a)\; \; \frac{x}{y} =-4\; \; \to \; \; x=-4y\\\\2x^2-3xy+y^2=32y^2+12y^2+y^2=90\\\\45y^2=90\; ,\; \; y^2=2\; ,\; \; y=\pm \sqrt2\; \; \Rightarrow \\\\x=-4(\pm \sqrt2)=\mp 4\sqrt2$

$b)\; \; \frac{x}{y} =3\; \; \to \; \; x=3y\\\\2x^2-3xy+y^2=18y^2-9y^2+y^2=90\\\\10y^2=90\; ,\; \; y^2=9\; ,\; \; y=\pm 3\; \; \Rightarrow$

$x=3\cdot (\pm 3)=\pm 9\\\\Otvet:\; \; (-4\sqrt2,\sqrt2)\; ,\; \; (4\sqrt2,-\sqrt2)\; ,\; \; (-9,-3)\; ,\; \; (9,3)\; .$

Answer 2

Давайте вирішимо цю систему рівнянь крок за кроком:

1) Перше рівняння: x^2 + xy - 12y^2 = 0

2) Друге рівняння: 2x - 3xy + y^2 = 90

Для початку, взято друге рівняння і виразимо x через y:

2x - 3xy + y^2 = 90

2x = 3xy - y^2 + 90

x = (3xy - y^2 + 90) / 2

Тепер, підставимо це значення x в перше рівняння:

((3xy - y^2 + 90) / 2)^2 + ((3xy - y^2 + 90) / 2)y - 12y^2 = 0

Simplifying this equation, we get:

(9x^2y^2 - 6xy^3 + 135xy - 9xy^3 + 6y^4 - 135y^2 + 180xy - 12y^3 + 216y^2) / 4 + (3xy^2 - y^3 + 45y) / 2 - 12y^2 = 0

Further simplifying, we have:

9x^2y^2 + 18xy^3 + 9xy^3 - 6y^4 - 12y^3 + 180xy + 135y^2 - 135y^2 - 4y^3 + 72y^2 + 4y^3 - 12y^2 = 0

Simplifying further, we get:

9x^2y^2 + 18xy^3 - 12y^3 - 4y^3 + 72y^2 + 135y^2 - 135y^2 + 180xy - 6y^4 - 12y^2 = 0

Combining like terms, we have:

9x^2y^2 + 18xy^3 - 16y^3 + 207y^2 + 180xy - 6y^4 = 0

Now, let's solve this equation. However, it is important to note that this equation is quite complex, and it may be difficult to find exact solutions. We can use numerical methods, such as the Newton-Raphson method, to find approximate solutions.