Question

1) Sin(2x-pi/6)<1/2 2)cos(pi/3+1/2x)>= - корень из 3/2 3)cos(3x-pi/4)<= - корень из 2/2 4)корень из 2 sin(x/2+pi/4)>=1

Answer 1

1
Sin(2x-pi/6)<1/2
5π/6+2πk<2x-π/6<13π/6+2πk
π+2πk<2x<4π/6+2πk
π/2=πk<x<7π/12+πk,k∈z
2
cos(pi/3+1/2x)≥-√ 3/2
7π/6+2πk≤π/3+x/2≤17π/6+2πk
5π/6+2πk≤x/2≤5π/2+2πk
5π/3+4πk≤x≤5π+4πk,k∈z
3
cos(3x-pi/4)≤-√ 2/2
3π/4+2πk≤3x-π/4≤5π/4+2πk
π+2πk≤3x≤3π/2+2πk
π/3+2πk/3≤x≤π/2+2πk/3,k∈z
4
√ 2 sin(x/2+pi/4)≥1
sin(x/2+π/4)≥1/2
π/6+2πk≤x/2+π/4≤5π/6+2πk
-π/12+2πk≤x/2≤7π/12+2πk
-π/6+4πk≤x≤7π/6+4πk,k∈z

Answer 2

Давайте поочередно рассмотрим каждое из уравнений:

1) \( \sin(2x - \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{2} \)

Для решения этого неравенства, давайте найдем интервалы, на которых оно выполняется. Начнем с того, что определим значения \( x \) для которых \( \sin(2x - \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} \).

\[ 2x - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решив это уравнение, получим:

\[ 2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]

\[ x = \frac{\pi}{6} + \pi n \]

Таким образом, корни равенства находятся в точках \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n \), где \( n \) - целое число.

Теперь давайте рассмотрим интервалы между этими точками. Поскольку \(\sin\) является периодической функцией с периодом \(2\pi\), то на каждом таком интервале значение \(\sin\) изменяется от -1 до 1.

Таким образом, на интервалах между точками \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n \) значение \(\sin\) будет меньше \(\frac{1}{2}\).

2) \( \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}x) \geq -\sqrt{3}/2 \)

Аналогично предыдущему случаю, начнем с определения значений \( x \) для которых \( \cos(\frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}x) = -\sqrt{3}/2 \).

\[ \frac{\pi}{3} + \frac{1}{2}x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решив это уравнение, получим:

\[ \frac{1}{2}x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n \]

\[ x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n \]

Таким образом, корни равенства находятся в точках \( x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi n \), где \( n \) - целое число.

Аналогично предыдущему случаю, на интервалах между этими точками значение \(\cos\) будет больше или равно \(-\sqrt{3}/2\).

3) \( \cos(3x - \frac{\pi}{4}) \leq -\sqrt{2}/2 \)

Аналогично предыдущим случаям, начнем с определения значений \( x \) для которых \( \cos(3x - \frac{\pi}{4}) = -\sqrt{2}/2 \).

\[ 3x - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} \]

Решив это уравнение, получим:

\[ 3x = \pi + 2\pi n \]

\[ x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \]

Таким образом, корни равенства находятся в точках \( x = \frac{\pi}{3} + \frac{2\pi n}{3} \), где \( n \) - целое число.

На интервалах между этими точками значение \(\cos\) будет меньше или равно \(-\sqrt{2}/2\).

4) \( \sqrt{2}\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \geq 1 \)

Теперь рассмотрим это неравенство:

\[ \sqrt{2}\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \geq 1 \]

Разделим обе стороны на \(\sqrt{2}\):

\[ \sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \geq \frac{1}{\sqrt{2}} \]

Так как \(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), то это неравенство аналогично \(\sin(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4}) \geq \frac{\sqrt{2}}{2}\).

По предыдущему обсуждению, это неравенство выполняется на интервалах между точками \( x = \frac{\pi}{6} + \pi n \).

Таким образом, решениями системы будут интервалы между корнями уравнений, описанных выше. Напоминаю, что значения \( n \) - целые числа.