Question

Докажите что это геометрическая прогрессия: Если каждый член числовой последовательности с положительными членами, начиная со второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов, то такая последовательность является геометрической

Answer 1

Вообще это просто свойство геометрической прогрессии.

Но тем не менее.

Пусть b1 = b1, b2 = b1q, b3=b1q² (эта последовательность является геометрической прогрессией по определению)

√(b1×b3) = √(b1×b1q²) = √(b1²q²) = b1q = b2

Как видим член геометрической прогресии равен среднему геометрическому соседних.
Думаю этого достаточно.

Answer 2

Пусть дана числовая последовательность a1, a2, a3, ..., где каждый член последовательности с положительными значениями, начиная со второго, равен среднему геометрическому его соседних членов.

То есть, для каждого i >= 2 выполняется следующее условие: ai = sqrt(a(i-1) * a(i+1))

Мы хотим доказать, что данная последовательность является геометрической прогрессией.

Для начала, заметим, что a2 = sqrt(a1 * a3), a3 = sqrt(a2 * a4), и так далее.

Заменим a2, a3, a4 и так далее с помощью a1, a3, a5 и так далее:

sqrt(a1 * a3) = sqrt(a1 * a5) * sqrt(a3 * a5)

Таким образом, можем заметить закономерность:

a1 * a3 = a1 * a5 * a3 * a5

На самом деле, данный процесс можно продолжать сколько угодно раз, получая аналогичные выражения:

a1 * a3 * a5 * ... * a(n-1) = a1 * a5 * ... * a(n-3) * a(n-1) * a(n+1)

Таким образом, мы можем упростить эти выражения:

a1 * a3 * a5 * ... * a(n-1) = a1 * a(n+1)

Из этого выражения следует, что:

a(n+1) = a(n-1) * (a1 * a3 * ... * a(n-1))

То есть, каждый следующий член последовательности является предыдущим членом, умноженным на константу a1 * a3 * ... * a(n-1).

Таким образом, данная последовательность является геометрической прогрессией с первым членом a1 и знаменателем a1 * a3 * ... * a(n-1).

Итак, мы доказали, что если каждый член числовой последовательности с положительными членами, начиная с второго, равен среднему геометрическому соседних с ним членов, то такая последовательность является геометрической прогрессией.