Question

Решите неравенствоsqrt(3)cosx-sinx<=1

Answer 1

2(√3/2сosx-1/2sinx)≤1
2sin(π/3-x)≤1
sin(π/3-x)≤1/2
5π/6+2πn≤π/3-x≤13π*6+2πn
5π/6-π/3+2πn≤-x≤13π*6-π/3+2πn
π/2+2πn≤-x≤11π/6+2πn
-11π/6+2πn≤x≤-π/2+2πn
x∈[-11π/6+2πn;-π/2+2πn]

Answer 2

Давайте решим это неравенство поэтапно. Начнем с приведения его к более простому виду.

Имеем неравенство: √3cos(x) - sin(x) ≤ 1

Первым шагом, заметим, что √3cos(x) - sin(x) можно записать в виде синуса суммы углов, используя формулу для cos(α - β).

√3cos(x) - sin(x) = 2(sin(π/6)cos(x) - cos(π/6)sin(x))

= 2sin(π/6 - x)

Теперь наше неравенство принимает вид: 2sin(π/6 - x) ≤ 1

Шаг 1: Нахождение основного решения

Посмотрим на основное решение этого неравенства. Для этого установим равенство:

2sin(π/6 - x) = 1

sin(π/6 - x) = 1/2

Известно, что sin(π/6) = 1/2, поэтому можем записать:

π/6 - x = π/6 + 2πn или π - (π/6 - x) = π/6 + 2πn

где n - целое число.

Решая эти уравнения, получаем два основных решения:

x = 0 + 2πn или x = π/3 + 2πn,

где n - целое число.

Шаг 2: Поиск дополнительных решений

Теперь мы найдем все дополнительные решения, которые удовлетворяют неравенству 2sin(π/6 - x) ≤ 1.

Для этого рассмотрим интервалы, где sin(π/6 - x) ≤ 1/2:

1) В интервале [0, π/3]:

В этом интервале sin(π/6 - x) является убывающей функцией, принимающей значения от sin(π/6) = 1/2 до sin(0) = 0.

Таким образом, все значения x в интервале [0, π/3], включая границы, удовлетворяют неравенству.

2) В интервале [π/3, 2π]:

В этом интервале sin(π/6 - x) является возрастающей функцией, принимающей значения от sin(π/6) = 1/2 до sin(π/2) = 1.

Таким образом, все значения x в интервале [π/3, 2π], включая границы, удовлетворяют неравенству.

Шаг 3: Объединение основного и дополнительных решений

Таким образом, все значения x, удовлетворяющие неравенству √3cos(x) - sin(x) ≤ 1, получаются при объединении основных и дополнительных решений:

x = 0 + 2πn, π/3 + 2πn для любого целого числа n.

Это и есть решение данного неравенства.