Question

Биссектрисы углов А и Б параллелограмма АБСД пересекаются в точке лежащей на стороне ВС. Найдите ВС если АВ= 26.

Answer 1

Биссектриса угла параллелограмма отсекает от параллелограмма равнобедренный треугольник. обозначим точку пересечения биссектрис M.
AB=BM  MC=CD AB\\CD AB=CD BC=BM+MC=2AB=2×26=52

Answer 2

Давайте обозначим точку пересечения биссектрис углов \( A \) и \( B \) как \( P \), а длину стороны \( BC \) (которую мы хотим найти) обозначим как \( x \). Также у нас есть дано, что \( AB = 26 \).

Так как \( PB \) - биссектриса угла \( B \), то отношение длин отрезков \( AP \) и \( BP \) равно отношению длин сторон параллелограмма, содержащих эти биссектрисы. То есть:

\[ \frac{AP}{BP} = \frac{AD}{DC} \]

Аналогично, для биссектрисы угла \( A \) получаем:

\[ \frac{BP}{AP} = \frac{BC}{CD} \]

Объединим эти два уравнения:

\[ \frac{AP}{BP} \cdot \frac{BP}{AP} = \frac{AD}{DC} \cdot \frac{BC}{CD} \]

\[ \frac{AP^2}{BP^2} = \frac{AD \cdot BC}{DC^2} \]

Теперь заменим отношение длин \( AP \) и \( BP \) из первого уравнения:

\[ \frac{(AD + DC)^2}{(BD + DC)^2} = \frac{AD \cdot BC}{DC^2} \]

Теперь подставим значения, учитывая, что \( AD = DC \) (так как \( AD \) и \( DC \) - биссектрисы, они равны):

\[ \frac{(DC + DC)^2}{(BD + DC)^2} = \frac{DC \cdot BC}{DC^2} \]

\[ \frac{4DC^2}{(BD + DC)^2} = \frac{BC}{DC} \]

Теперь умножим обе стороны на \( DC^2 \):

\[ \frac{4DC^4}{(BD + DC)^2} = BC \]

Так как \( BD + DC \) равно стороне \( BC \) параллелограмма, мы можем заменить это значение:

\[ \frac{4DC^4}{BC^2} = BC \]

Теперь мы можем решить уравнение относительно \( BC \):

\[ BC^3 = 4DC^4 \]

\[ BC = \sqrt[3]{4DC^4} \]

Так как \( DC \) равно половине стороны \( AB \), подставим \( DC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}(26) = 13 \):

\[ BC = \sqrt[3]{4 \cdot (13)^4} \]

\[ BC = \sqrt[3]{4 \cdot 28561} \]

\[ BC = \sqrt[3]{114244} \]

\[ BC \approx 48.18 \]

Таким образом, \( BC \approx 48.18 \).