Question

Докажите иррациональность числа: 2+корень из 2 и все в корне,корень из 5 +корень из 2 -1

Answer 1

1) Пусть число sqrt(2 + sqrt(2)) — рациональное. Тогда и его квадрат 2 + sqrt(2) рационален. Но это не так, 2 + sqrt(2) — сумма рационального и иррационального чисел. Противоречие.

(Доказательство иррациональности числа sqrt(2): пусть sqrt(2) = m/n, m/n - несократимая дробь, m,n — натуральные числа. Возводим в квадрат, домножаем на n^2, получаем m^2 = 2n^2, откуда m — чётное. Пусть m = 2M. Подставляем, сокращаем на 2, получаем n^2 = 2M^2, откуда n — тоже чётное, что противоречит предположению о несократимости дроби m/n)

2) Пусть число sqrt(5) + sqrt(2) - 1 рациональное, тогда и sqrt(5) + sqrt(2) тоже рациональное, и (sqrt(5) + sqrt(2))^2 = 5 + 2 + 2sqrt(10) = 7 + 2 sqrt(10) рациональное, тогда и sqrt(10) тоже рациональное. Но sqrt(10) — иррациональное, противоречие. Значит, sqrt(5) + sqrt(2) - 1 — иррациональное.

Иррациональность sqrt(10) доказывается аналогично: sqrt(10) = m/n, m^2 = 10n^2. Дальше можно, наример, точно так же, как и в примере выше, доказать, что m и n должны быть чётными.

Answer 2

Для доказательства иррациональности числа, мы должны предположить, что оно является рациональным и привести это предположение к противоречию. Давайте рассмотрим число, указанное в вашем вопросе:

$$x = 2\sqrt{2} + \sqrt{5\sqrt{2} - 1}$$

Предположим, что $x$ является рациональным числом, то есть, $x$ может быть представлено в виде дроби $\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ являются целыми числами и не имеют общих делителей, кроме 1 (то есть, $\frac{a}{b}$ - несократимая дробь).

Теперь возведем оба выражения в квадрат:

$$x^2 = \left(2\sqrt{2} + \sqrt{5\sqrt{2} - 1}\right)^2$$ $$x^2 = \left(2\sqrt{2}\right)^2 + 2\left(2\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{5\sqrt{2} - 1}\right) + \left(\sqrt{5\sqrt{2} - 1}\right)^2$$ $$x^2 = 8 + 4\sqrt{2}\sqrt{5\sqrt{2} - 1} + 5\sqrt{2} - 1$$ $$x^2 = 7 + 5\sqrt{2} + 4\sqrt{2}\sqrt{5\sqrt{2} - 1}$$

Теперь допустим, что $x$ - рациональное число. Тогда $x^2$ также будет рациональным числом.

Но мы видим, что в правой части последнего уравнения присутствуют два иррациональных слагаемых: $5\sqrt{2}$ и $4\sqrt{2}\sqrt{5\sqrt{2} - 1}$. Это невозможно, так как сумма рационального числа и иррационального числа должна быть иррациональным числом.

Таким образом, мы пришли к противоречию: наше предположение о том, что $x$ является рациональным числом, неверно. Следовательно, $x$ должно быть иррациональным числом.

Таким образом, мы доказали, что число $2\sqrt{2} + \sqrt{5\sqrt{2} - 1}$ является иррациональным.