Question

Найдите общий вид первообразных F(x) для функции f(x)= корень 4х-1 на промежутке (0,25; + бесконечность)

Answer 1

F(x) = 1/4 * (2x√x)/3 +C =( x√x)/6 +C

Answer 2

Давайте найдем первообразную \( F(x) \) для функции \( f(x) = \sqrt{4x - 1} \) на указанном промежутке.

Исходная функция имеет корень и выражена через переменную \( x \). Для нахождения первообразной, мы будем интегрировать \( f(x) \) относительно \( x \).

\[ F(x) = \int \sqrt{4x - 1} \,dx \]

Сначала проведем замену переменной для упрощения выражения. Пусть \( u = 4x - 1 \), тогда \( du/dx = 4 \) или \( dx = du/4 \).

\[ F(x) = \int \sqrt{u} \cdot \frac{1}{4} \,du \]

Теперь интегрируем по \( u \):

\[ F(x) = \frac{1}{4} \int \sqrt{u} \,du \]

Интегрируем \( \sqrt{u} \) относительно \( u \):

\[ F(x) = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \cdot u^{3/2} + C \]

Здесь \( C \) - постоянная интегрирования. Теперь возвращаемся к переменной \( x \) с учетом замены \( u = 4x - 1 \):

\[ F(x) = \frac{1}{6} (4x - 1)^{3/2} + C \]

Таким образом, общий вид первообразной для функции \( f(x) = \sqrt{4x - 1} \) на промежутке \( (0,25; +\infty) \):

\[ F(x) = \frac{1}{6} (4x - 1)^{3/2} + C \]

где \( C \) - произвольная постоянная.