Question

Определённый интеграл. dx / (sinx) от п/3 до п/2

Answer 1

$\int\limits^ \frac{\pi}{2} _ \frac{\pi}{3} \frac{dx}{sinx} = \int\limits^ \frac{\pi}{2} _ \frac{\pi}{3}\frac{dx}{\frac{2tg\frac{x}{2}}{1+tg^2\frac{x}{2}}}= \int\limits^ \frac{\pi}{2} _ \frac{\pi}{3} \frac{1+tg^2\frac{x}{2}}{2tg\frac{x}{2}}dx=\frac{1}{2}( \int\limits^ \frac{\pi}{2} _ \frac{\pi}{3}ctg(\frac{x}{2})dx+ \int\limits^ \frac{\pi}{2} _ \frac{\pi}{3}tg(\frac{x}{2})dx )=$$=\frac{1}{2}(2ln|sin\frac{x}{2}||^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}}-2ln|cos\frac{x}{2}||^{\frac{\pi}{2}}_{\frac{\pi}{3}}})=$$=ln|sin\frac{\pi}{4}|-ln|sin\frac{\pi}{6}|-ln|cos\frac{\pi}{4}|+ln|cos\frac{\pi}{6}|=$$ln|\frac{\sqrt{2}}{2}|-ln|\frac{1}{2}|-ln|\frac{\sqrt{2}}{2}|+ln|\frac{\sqrt{3}}{2}|=ln|\sqrt{3}|$

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы будем использовать формулу определенного интеграла:

∫[a, b] f(x) dx = F(b) - F(a),

где F(x) является первообразной функции f(x).

В данном случае, нам нужно вычислить определенный интеграл от функции f(x) = sin(x) на интервале от π/3 до π/2.

Для начала, найдем первообразную функции sin(x). Известно, что первообразная функции sin(x) равна -cos(x) + C, где C - произвольная постоянная.

Теперь мы можем вычислить значение определенного интеграла:

∫[π/3, π/2] sin(x) dx = [-cos(x)](π/2) - [-cos(x)](π/3).

Подставим верхний предел интегрирования π/2:

[-cos(π/2)] - [-cos(π/2)] = [-0] - [-(-1)] = 0 - 1 = -1.

Теперь подставим нижний предел интегрирования π/3:

[-cos(π/3)] - [-cos(π/2)] = [-1/2] - [0] = -1/2.

Таким образом, значение данного определенного интеграла равно -1/2.

Итак, определенный интеграл от функции sin(x) на интервале от π/3 до π/2 равен -1/2.