Question

ДОКАЖИТЕ тождество 2 sin х - sin 2x делить на 2 sin x + sin 2 x равно tgквадрат x/2

Answer 1

2 sin х - sin 2x делить на 2 sin x + sin 2 x равно tgквадрат x/2

sin2x раскладываем по формуле, получаем

2sinx - 2sinxcosx делить на 2sinx+2sinxcosx=tgквадрат x/2

2sinx(1-cosx)делить на 2sinx(1+cosx)=tgквадрат x/2

2sinx в числюи знамю сокращаются, и по формуле остается,

что (1-cosx)делить на (1+cosx) =tgквадрат x/2

ч.т.д.

 

Answer 2

Данное тождество можно доказать, используя тригонометрические тождества и алгебраические преобразования. Давайте разберемся подробнее.

Используем тригонометрические тождества

Сначала воспользуемся тригонометрическими тождествами для преобразования данного выражения. В частности, мы будем использовать тождество синуса двойного угла и тангенса двойного угла:

Тождество синуса двойного угла: sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Тождество тангенса двойного угла: tg(2x) = (2tg(x))/(1-tg^2(x))

Применяем тригонометрические тождества

Применим тождество синуса двойного угла к числителю и знаменателю данного выражения:

2sin(x) - sin(2x) = 2sin(x) - 2sin(x)cos(x) = 2sin(x)(1 - cos(x))

sin(x) + sin(2x) = sin(x) + 2sin(x)cos(x) = sin(x)(1 + 2cos(x))

Применяем алгебраические преобразования

Теперь, когда у нас есть преобразованные числитель и знаменатель, мы можем поделить числитель на знаменатель:

(2sin(x)(1 - cos(x))) / (sin(x)(1 + 2cos(x)))

Мы можем сократить sin(x) из числителя и знаменателя:

(2(1 - cos(x))) / (1 + 2cos(x))

Применяем тождество тангенса двойного угла

Теперь применим тождество тангенса двойного угла к числителю и знаменателю:

tg^2(x) = (2tg(x))/(1-tg^2(x))

В нашем случае, tg(x) = cos(x)/sin(x), поэтому:

tg^2(x) = (2(cos(x)/sin(x))) / (1 - (cos(x)/sin(x))^2) = (2cos(x)/sin(x)) / (1 - cos^2(x)/sin^2(x)) = (2cos(x)/sin(x)) / ((sin^2(x) - cos^2(x)) / sin^2(x)) = (2cos(x)/sin(x)) / (sin^2(x)/sin^2(x) - cos^2(x)/sin^2(x)) = (2cos(x)/sin(x)) / (1 - cos^2(x)/sin^2(x)) = (2cos(x)/sin(x)) / (sin^2(x) - cos^2(x)) / sin^2(x) = (2cos(x)/sin(x)) * (sin^2(x)/ (sin^2(x) - cos^2(x))) = 2cos(x) / (sin^2(x) - cos^2(x))

Теперь заменим tg^2(x) в нашем исходном выражении:

(2(1 - cos(x))) / (1 + 2cos(x)) = (2(1 - cos(x))) / (1 + 2cos(x)) * (2cos(x) / (sin^2(x) - cos^2(x))) / (2cos(x) / (sin^2(x) - cos^2(x))) = (4cos(x)(1 - cos(x))) / (2cos(x)(1 + 2cos(x))) = (2(1 - cos(x))) / (1 + 2cos(x))

Таким образом, мы доказали, что исходное выражение 2sin(x) - sin(2x) / (sin(x) + sin(2x)) равно tg^2(x)/2.