Question

F(x)=x^3-6x^2+9 на промежутке [-1;2]

Answer 1

Найдём производную F(x):


$F'_x (x) = ( x^3 - 6x^2 + 9 )'_x = ( x^3 )'_x - ( 6x^2 )'_x + ( 9 )'_x = 3 \cdot x^{3-1} - 2 \cdot 6x^{2-1} \ ;$

$F'_x (x) = 3x^2 - 12x \ ;$


Найдём нулю производной:

$F'_x (x) = 0 \ ; \ \Rightarrow \ 3x^2 - 12x = 0 \ ; \ \Rightarrow \ 3x(x-4)=0 \ ;$


Значит при x=0 и при x=4 у функции имеются экстремумы.

Функция F(x) – определена и непрерывна на всей числовой оси,
а значит – не имеет разрывов.

$F(x=-1) = (-1)^3 - 6 \cdot (-1)^2 + 9 = -1 - 6 + 9 = 2 \ ;$

$F(x=0) = 0^3 - 6 \cdot 0^2 + 9 = 0 - 0 + 9 = 9 \ ;$

$F(x=2) = 2^3 - 6 \cdot 2^2 + 9 = 8 - 24 + 9 = -7 \ ;$


Сопоставляя значения функции на концах отрезка и в экстремуме,
можно заключить, что на заданном отрезке:

$-7 \leq F(x) \leq 9 \ ;$




О т в е т :  на отрезке [ –1 ; 2 ] :

$min \{ F(x) \} = -7 \ ;$

$max \{ F(x) \} = 9 \ .$

Answer 2

Чтобы найти экстремумы функции \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9 \) на заданном промежутке \([-1; 2]\), следует выполнить следующие шаги:

1. Найдем производную функции: \[ f'(x) = 3x^2 - 12x \]

2. Найдем критические точки, приравнивая производную к нулю: \[ 3x^2 - 12x = 0 \]

Решение этого квадратного уравнения дает нам критические точки. Раскладывая выражение, получаем: \[ 3x(x - 4) = 0 \]

Отсюда следует, что \( x = 0 \) или \( x = 4 \). Однако, наш промежуток \([-1; 2]\) не включает \( x = 4 \), поэтому нам интересна только точка \( x = 0 \).

3. Проверим значение второй производной в критической точке: \[ f''(x) = 6x - 12 \]

Подставляем \( x = 0 \): \[ f''(0) = -12 \]

Так как \( f''(0) < 0 \), то это является признаком того, что у нас есть максимум в точке \( x = 0 \).

4. Проверим значения функции на концах промежутка и в найденной критической точке: - \( f(-1) = (-1)^3 - 6(-1)^2 + 9 = -1 + 6 + 9 = 14 \) - \( f(0) = 0^3 - 6(0)^2 + 9 = 9 \) - \( f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9 = -8 \)

Таким образом, наш максимум находится в точке \( x = 0 \), где значение функции равно 9.