Question

найдите f'(п\8), если f(x)= 3cos 2x - sin 2x

Answer 1

$f(x)=3cos(2x)-sin(2x);\\\\f'(x)=(3cos(3x)-sin(2x))'=(3cos(2x))'-(sin(2x))'=3*(cos(2x))'-cos(2x)*(2x)'=3*(-sin(2x))*(2x)'-cos(2x)*2=-3sin(2x)*2-2cos(2x)=-6sin(2x)-2cos(2x);\\\\f'(\frac{\pi}{8})=-6*sin(2*\frac{\pi}{8})-2cos(2*\frac{\pi}{8})=-6*sin(\frac{\pi}{4})-2cos\frac{\pi}{4}=-6*\frac{\sqrt{2}}{2}-2*\frac{\sqrt{2}}{2}=-8*\frac{\sqrt{2}}{2}=-4\sqrt{2}$

Answer 2

 f(x)= 3cos 2x - sin 2x

 f'(x)= -3sin(2x)*2-cos(2x)*2=-6sin(2x) - 2cos(2x)

 f'(pi\8)=-6sin(2pi/8) - 2cos(2pi/8)=-6sin(pi/4) - 2cos(pi/4)=-6/sqrt2 - 2/sqrt2=-3sqrt2-sqrt2=-4sqrt2.

sqrt2 - это корень квадратный из 2

 

Answer 3

Для нахождения производной функции f(x) = 3cos(2x) - sin(2x) посчитаем производные от каждого слагаемого по отдельности и применим правило суммы производных.

Для начала, найдем производную от функции cos(2x). Для этого воспользуемся формулой производной для функции cos(x), которая гласит: d/dx(cos(x)) = -sin(x). Поскольку в данном случае у нас аргументом является 2x, то мы также применим правило цепочки (chain rule), которое гласит, что производная композиции функций равна произведению производной внешней функции на производную внутренней функции. Применяя это правило, получаем:

d/dx(cos(2x)) = -sin(2x) * d/dx(2x) = -sin(2x) * 2 = -2sin(2x).

Теперь найдем производную от функции sin(2x). Аналогично, воспользуемся формулой производной для функции sin(x), которая гласит: d/dx(sin(x)) = cos(x). Применяя правило цепочки, получаем:

d/dx(sin(2x)) = cos(2x) * d/dx(2x) = cos(2x) * 2 = 2cos(2x).

Теперь мы можем объединить полученные производные и применить правило суммы производных:

f'(x) = d/dx(3cos(2x)) - d/dx(sin(2x)) = 3 * (-2sin(2x)) - (2cos(2x)).

Таким образом, производная функции f(x) = 3cos(2x) - sin(2x) равна:

f'(x) = -6sin(2x) - 2cos(2x).

Теперь, чтобы найти f'(п/8), мы должны подставить x = п/8 в выражение для f'(x):

f'(п/8) = -6sin(2(п/8)) - 2cos(2(п/8)).

Вычисляя значения sin(п/4) и cos(п/4), получаем:

f'(п/8) = -6sin(п/4) - 2cos(п/4).

Итак, f'(п/8) = -6sin(п/4) - 2cos(п/4).