Question

Двенадцатыйчленгеометрическойпрогрессииравен1536 четвертый член равен 6 Найдите сумму первых одинадцати членов этой прогрессии.

Answer 1

Формула энного члена геометрической прогрессии: bn=b1 * q^n-1
значит, формула двенадцатого члена: b12=b1 * q^11
1536=b1 * q^11
формула четвертого члена: b4=b1 * q^3
6=b1 * q^3
теперь, разделим двенадцатый член прогрессии на четвертый член и из этого найдём значение q^8 (т.к при делении степени вычитаются, следовательно 11-3=8)
1536:6=256
256=2^8
отсюда q=2
теперь подставим значение q в формулу четвертого члена прогрессии
6=b1 * 2^3
отсюда b1= 0.75
формула суммы n членов геометрической прогрессии: Sn=b1(q^n-1 - 1)/q-1
S11=0/75(2^10 - 1)/2-1
S11=0/75*1023=768

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать формулы для геометрической прогрессии.

Пусть первый член геометрической прогрессии равен a, а знаменатель (значение, на которое умножается каждый следующий член, чтобы получить следующий) равен q. Тогда n-й член геометрической прогрессии будет равен a * q^(n-1).

Из условия задачи мы знаем, что двенадцатый член геометрической прогрессии равен 1536, а четвертый член равен 6. Поэтому мы можем записать два уравнения:

a * q^11 = 1536 (уравнение для двенадцатого члена) a * q^3 = 6 (уравнение для четвертого члена)

Разделим первое уравнение на второе, чтобы избавиться от переменной a:

(q^11) / (q^3) = 1536 / 6

q^8 = 256

Теперь возьмем корень восьмой степени от обеих сторон уравнения:

q = ∛256

q = 2

Теперь, когда у нас есть значение q, мы можем найти значение a. Подставим это значение в одно из уравнений:

a * 2^3 = 6

a * 8 = 6

a = 6 / 8

a = 3/4

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 3/4, а знаменатель равен 2.

Нахождение суммы первых 11 членов геометрической прогрессии

Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии выглядит следующим образом:

S_n = a * (1 - q^n) / (1 - q)

Где S_n - сумма первых n членов, a - первый член, q - знаменатель.

Подставим значения в формулу:

S_11 = (3/4) * (1 - 2^11) / (1 - 2)

S_11 = (3/4) * (1 - 2048) / (1 - 2)

S_11 = (3/4) * (-2047) / (-1)

S_11 = 3071/4

Таким образом, сумма первых одинадцати членов геометрической прогрессии равна 3071/4 или 767.75.