Question

Подробное решение 4cos^2x-8 sin x+1=0

Answer 1

4cos²x-8sinx+1=0
4*(1-sin²x)-8sinx+1=0
4sin²x+8sinx-5=0
замена переменных: sinx=t, t∈[-1;1]
4t²+8t-5=0. D=144. t₁=-2,5. -2,5∉[-1;1] посторонний корень
t₂=1/2
обратная замена:
sinx=1/2. x=(-1)^n *arcsin(1/2)+πn, n∈Z
x=(-1)^n*(π/6)+πn, n∈Z

Answer 2

Давайте решим данное уравнение по шагам.

Уравнение: 4cos^2(x) - 8sin(x) + 1 = 0

Шаг 1: Перепишем уравнение

В данном случае, мы видим квадрат косинуса и синуса, поэтому мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами, чтобы переписать уравнение.

Тригонометрическое тождество: cos^2(x) = 1 - sin^2(x)

Подставим это тождество в наше уравнение:

4(1 - sin^2(x)) - 8sin(x) + 1 = 0

Упростим:

4 - 4sin^2(x) - 8sin(x) + 1 = 0

Шаг 2: Решим квадратное уравнение

Теперь мы можем решить полученное квадратное уравнение относительно sin(x). Для этого, перенесем все члены на одну сторону:

-4sin^2(x) - 8sin(x) + 5 = 0

Шаг 3: Решим квадратное уравнение

Давайте решим это уравнение с помощью квадратного трехчлена или метода дискриминанта.

Для начала, вынесем общий множитель -1:

4sin^2(x) + 8sin(x) - 5 = 0

Теперь давайте воспользуемся методом дискриминанта для нахождения корней этого уравнения. Зная, что уравнение имеет вид ax^2 + bx + c = 0, дискриминант определяется как D = b^2 - 4ac.

В нашем случае, a = 4, b = 8 и c = -5. Подставим эти значения в формулу дискриминанта:

D = (8)^2 - 4(4)(-5) = 64 + 80 = 144

Шаг 4: Найдем значения sin(x)

Теперь мы знаем, что дискриминант D равен 144. Если D > 0, у нас есть два различных действительных корня. Если D = 0, у нас есть один действительный корень (корень кратности 2). Если D < 0, у нас нет действительных корней.

В нашем случае, D = 144, что означает, что у нас есть два различных действительных корня.

Теперь воспользуемся формулой для нахождения корней квадратного уравнения:

sin(x) = (-b ± √D) / (2a)

sin(x) = (-8 ± √144) / (2 * 4)

sin(x) = (-8 ± 12) / 8

Таким образом, мы получаем два значения для sin(x):

sin(x) = (-8 + 12) / 8 = 4 / 8 = 0.5

и

sin(x) = (-8 - 12) / 8 = -20 / 8 = -2.5

Шаг 5: Найдем значения x

Теперь, чтобы найти значения x, нам нужно найти обратный синус (арксинус) от полученных значений sin(x).

x = arcsin(0.5) ≈ 30° + k * 360°, где k - целое число

и

x = arcsin(-2.5) ≈ -68.2° + k * 360°, где k - целое число

Таким образом, уравнение 4cos^2(x) - 8sin(x) + 1 = 0 имеет решения приближенно:

x ≈ 30° + k * 360°, где k - целое число

и

x ≈ -68.2° + k * 360°, где k - целое число

Обратите внимание: В решении уравнения можно использовать и другие методы, в том числе графический метод или численные методы, чтобы получить более точные значения корней.