Question

Построить график функции t=-x^2+4x-6, и укажите основные свойства.

Answer 1

T=y
y=-x²+4x-6
Упростим немного уравнение: x²+4x-6=x²-4x+6=x²-4x+10-6+6=(x²-4x+4)+6=(x-2)²+6
t=(x-2)²+6
Теперь подставим числа. Будет достаточно, думаю, 5 точек:
x=2 y=6; x=1 y=7; x=-1 y=15; x=2 y=10; x=-2 y=22

График, думаю, сама построишь

Свойство:
Исходя из построенного графика, можно сказать, что несмотря на отрицательный x, y никогда не будет отрицательным

Вроде правильно.

Answer 2

Функция \( t = -x^2 + 4x - 6 \) представляет собой параболу вида \( t = ax^2 + bx + c \), где \( a = -1 \), \( b = 4 \), и \( c = -6 \). Давайте построим ее график и рассмотрим основные свойства.

Для начала, построим график функции \( t = -x^2 + 4x - 6 \). Для этого мы будем использовать программу Python с библиотекой Matplotlib.

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np

# Создание массива значений x
x = np.linspace(-2, 6, 100)  # Задаем диапазон значений x от -2 до 6

# Функция t = -x^2 + 4x - 6
t = -x**2 + 4*x - 6

# Построение графика
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, t, label='t = -x^2 + 4x - 6', color='blue')
plt.title('График функции t = -x^2 + 4x - 6')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('t')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

На графике мы увидим параболу, открывающуюся вниз.

Теперь рассмотрим основные свойства функции:

1. Тип функции: Парабола, открывающаяся вниз. 2. Вершина параболы: Для нахождения вершины используем формулу \( x = -\frac{b}{2a} \). Для данной функции \( a = -1 \) и \( b = 4 \), поэтому \( x = -\frac{4}{2*(-1)} = 2 \). Чтобы найти соответствующее значение t, подставим x = 2 в функцию: \( t = -(2)^2 + 4*(2) - 6 = -4 + 8 - 6 = -2 \). Таким образом, вершина параболы находится в точке (2, -2). 3. Направление открытия: Парабола открывается вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) (a) отрицательный (-1). 4. Ось симметрии: Ось симметрии проходит через вершину параболы. В данном случае, ось симметрии вертикальная и проходит через x = 2. 5. Максимальное/минимальное значение функции: Так как парабола открывается вниз, это значит, что ее максимальное значение находится в вершине параболы, которая равна -2. 6. Пересечения с осями координат: Для пересечения с осью t (ось y) устанавливаем \( x = 0 \): \( t = -0^2 + 4*0 - 6 = -6 \), значит, парабола пересекает ось t в точке (0, -6). Для пересечения с осью x (абсцисса) устанавливаем \( t = 0 \): \( 0 = -x^2 + 4x - 6 \). Решив это уравнение, получим два корня или точки пересечения параболы с осью x.

Таким образом, построив график и анализируя основные свойства, мы можем лучше понять форму функции \( t = -x^2 + 4x - 6 \).