Question

Определенный интеграл (x^2+5/x+1) от 0..до 1

Answer 1

Я думаю это решается так:

Answer 2

Для вычисления определенного интеграла функции \(f(x) = \frac{x^2 + 5}{x + 1}\) на интервале от 0 до 1, мы можем использовать метод интегрирования. Ваш вопрос написан на русском языке, но я могу предоставить ответ на русском.

Для начала, разберемся с интегралом этой функции:

\[ \int_{0}^{1} \frac{x^2 + 5}{x + 1} dx \]

Для вычисления этого интеграла разложим дробь на простейшие дроби:

\[ \frac{x^2 + 5}{x + 1} = \frac{(x + 1)(x - 1) + 6}{x + 1} = x - 1 + \frac{6}{x + 1} \]

Теперь можем разбить интеграл на два:

\[ \int_{0}^{1} x dx - \int_{0}^{1} \frac{6}{x + 1} dx \]

Первый интеграл \( \int_{0}^{1} x dx \) легко вычисляется как:

\[ \left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{0}{2} = \frac{1}{2} \]

Второй интеграл \( \int_{0}^{1} \frac{6}{x + 1} dx \) также можно вычислить:

\[ \int_{0}^{1} \frac{6}{x + 1} dx = 6 \int_{0}^{1} \frac{1}{x + 1} dx \]

Для интегрирования \(\frac{1}{x + 1}\) мы можем воспользоваться заменой переменной \(u = x + 1\):

\[ du = dx \]

Теперь наш интеграл становится:

\[ 6 \int_{0}^{1} \frac{1}{u} du = 6 \left[\ln|u|\right]_{0}^{1} = 6(\ln|1| - \ln|0|) = 6 \ln(1) = 6 \cdot 0 = 0 \]

Таким образом, второй интеграл равен 0.

Итак, общий результат интеграла:

\[ \int_{0}^{1} \frac{x^2 + 5}{x + 1} dx = \frac{1}{2} - 0 = \frac{1}{2} \]

Таким образом, определенный интеграл этой функции на интервале от 0 до 1 равен \(\frac{1}{2}\).