Question

Найдите наибольшее значение функции -x^3+3x^2+9х-29 на отрезке[-1;4]

Answer 1

-x³+3x²+9х-29 найдем производную данной функции (-x³+3x²+9х-29)' = -3x²+6x+9 приравниваем к 0  -3x²+6x+9=0 -3(x²-2x-3)=0 решаем Д=4      х1=(2+4)/2=3 и х2=(2-4)/2=-1 найденные точки 3 и -1 принадлежат данному отрезку [-1;4], поэтому вычисляем значения этой функции в этих точках

f(3)=-x³+3x²+9х-29= -(3)³+3*(3)²+9*3-29=-27+27+27-29=-2

f(-1)=-x³+3x²+9х-29= -(-1)³+3*(-1)²+9*(-1)-29=1+3-9-29=-34

Наибольшее значение этой функции -2!

Answer 2

Чтобы найти наибольшее значение функции \( f(x) = -x^3 + 3x^2 + 9x - 29 \) на заданном отрезке \([-1;4]\), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найдем критические точки функции, которые могут быть локальными максимумами или минимумами. Для этого найдем производную функции и приравняем её к нулю:

\[ f'(x) = -3x^2 + 6x + 9 \]

Приравниваем \( f'(x) \) к нулю и решаем уравнение:

\[ -3x^2 + 6x + 9 = 0 \]

Делим на -3:

\[ x^2 - 2x - 3 = 0 \]

Факторизуем:

\[ (x - 3)(x + 1) = 0 \]

Получаем два корня: \( x = 3 \) и \( x = -1 \).

2. Теперь проверим значения функции в критических точках и на концах интервала \([-1;4]\). То есть, найдем \( f(x) \) для \( x = -1, 3, 4 \).

- При \( x = -1 \): \( f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1)^2 + 9(-1) - 29 = -1 - 3 - 9 - 29 = -42 \) - При \( x = 3 \): \( f(3) = -(3)^3 + 3(3)^2 + 9(3) - 29 = -27 + 27 + 27 - 29 = -2 \) - При \( x = 4 \): \( f(4) = -(4)^3 + 3(4)^2 + 9(4) - 29 = -64 + 48 + 36 - 29 = -9 \)

3. Сравниваем полученные значения: \( f(-1) = -42 \), \( f(3) = -2 \), \( f(4) = -9 \). Наибольшее значение функции на отрезке \([-1;4]\) достигается при \( x = 3 \), и равно -2.

Таким образом, максимальное значение функции на отрезке \([-1;4]\) равно -2 и достигается при \( x = 3 \).