Question

Sin (2п - a) sin (a - п) cos (a - 2п)/cos(2п -a) ctg (п-a) tg (3п - a)

Answer 1

-sina*sina*cosa/(сosa*ctga*tga)=-sin²a

Answer 2

Давайте рассмотрим данное выражение шаг за шагом, чтобы упростить его. Перед этим заметим, что \( \pi \) обозначает число пи, равное примерно 3.14159.

Имеем следующее выражение:

\[ \frac{\sin(2\pi - a) \cdot \sin(a + \pi) \cdot \cos(a + 2\pi)}{\cos(2\pi - a) \cdot \cot(\pi - a) \cdot \tan(3\pi - a)} \]

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы упростить выражение.

1. Тождество суммы синусов: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \cdot \cos\beta + \cos\alpha \cdot \sin\beta \]

2. Тождество разности косинусов: \[ \cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha \cdot \cos\beta + \sin\alpha \cdot \sin\beta \]

3. Тангенс и котангенс в терминах синуса и косинуса: \[ \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \quad \text{и} \quad \cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} \]

4. Тангенс и котангенс суммы и разности: \[ \tan(\alpha \pm \beta) = \frac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha \cdot \tan\beta} \] \[ \cot(\alpha \pm \beta) = \frac{\cot\alpha \cdot \cot\beta \mp 1}{\cot\alpha \pm \cot\beta} \]

Исходя из этих тождеств, давайте применим их к нашему выражению. В результате у нас должны упроститься некоторые тригонометрические функции, и мы сможем сократить подобные члены в числителе и знаменателе.

\[ \frac{\sin(2\pi - a) \cdot \sin(a + \pi) \cdot \cos(a + 2\pi)}{\cos(2\pi - a) \cdot \cot(\pi - a) \cdot \tan(3\pi - a)} \]

Используем тождества:

\[ \sin(2\pi - a) = \sin(-a) = -\sin a \] \[ \sin(a + \pi) = \sin a \] \[ \cos(a + 2\pi) = \cos a \] \[ \cos(2\pi - a) = \cos a \] \[ \cot(\pi - a) = -\tan a \] \[ \tan(3\pi - a) = -\tan a \]

Подставим полученные значения:

\[ \frac{-\sin a \cdot \sin a \cdot \cos a}{\cos a \cdot (-\tan a) \cdot (-\tan a)} \]

Сократим подобные члены:

\[ \frac{\sin^2 a \cdot \cos a}{\cos a \cdot \tan^2 a} \]

И, наконец, упростим выражение, деля числитель и знаменатель на \(\cos a\):

\[ \frac{\sin^2 a}{\tan^2 a} \]

Теперь воспользуемся тождеством \(\tan^2 \theta + 1 = \sec^2 \theta\):

\[ \frac{\sin^2 a}{\tan^2 a} = \frac{\sin^2 a}{\sec^2 a - 1} \]

Исходное выражение упрощается до:

\[ \frac{\sin^2 a}{\sec^2 a - 1} \]

Мы могли бы продолжить упрощение, используя тождество \(\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta\), но это зависит от конкретного контекста и целей упрощения.