Question

Найти наименьшую пару натуральных чисел X и Y: 2009x-2008y=2012

Answer 1

2009x-2008y=2012

(2008+1)x-2008y=2012

2008x+x-2008y=2012

2008(x-y)+x=2012

Очевидно x-y=1

тогда х=4 y=3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 2

Чтобы найти наименьшую пару натуральных чисел X и Y, удовлетворяющих уравнению 2009X - 2008Y = 2012, мы можем использовать алгоритм нахождения наименьшего общего кратного (НОК) двух чисел.

Сначала приведем уравнение к более простому виду. Разделим обе части уравнения на 4, получим: 502X - 502Y = 503.

Обратим внимание, что оба коэффициента перед X и Y равны 502, что является простым числом. Это означает, что существует решение для этого уравнения.

Теперь применим расширенный алгоритм Евклида для нахождения наименьшего общего кратного чисел 502 и 503.

Расширенный алгоритм Евклида:

1. Начнем с исходных чисел a = 502 и b = 503. 2. Вычислим a mod b и обозначим остаток как r1. 3. Затем обновим значения a и b следующим образом: a = b и b = r1. 4. Повторим шаги 2 и 3, пока r1 не станет равным 0. 5. Когда r1 = 0, предыдущее значение b будет являться НОД(a, b).

Применение алгоритма:

Выполним вычисления с числами 502 и 503:

1. 503 mod 502 = 1 (r1) 2. Обновляем значения: a = 502 и b = 1. 3. Так как r1 равно 1, продолжаем вычисления. 4. 502 mod 1 = 0 (r2) 5. Обновляем значения: a = 1 и b = 0. 6. Так как r2 равно 0, заканчиваем вычисления.

Таким образом, НОД(502, 503) = 1.

Нахождение решения:

Теперь мы можем применить расширенный алгоритм Евклида в обратном порядке для нахождения пары чисел X и Y, удовлетворяющих уравнению 502X - 502Y = 1.

1. Используем обратную последовательность шагов алгоритма Евклида: - r2 = a - q2 * b, - r1 = b - q1 * r2, - где q1 и q2 - коэффициенты, полученные во время вычисления алгоритма Евклида.

2. Применим шаги для наших чисел: - r2 = 502 - q2 * 1, - r1 = 1 - q1 * r2.

3. Найдем пару чисел X и Y, удовлетворяющих уравнению: - 502X - 502Y = 1.

Продолжая вычисления, мы можем найти значения X и Y:

r2 = 502 - q2 * 1
r1 = 1 - q1 * r2

while r1 > 0:
    temp = r2
    r2 = r1
    r1 = temp - q1 * r2

X = (r2 + 502) // 502
Y = (1 - X) // -502

Таким образом, наименьшая пара натуральных чисел X и Y, удовлетворяющая уравнению 2009X - 2008Y = 2012, равна X = 502 и Y = 503.