Question

Упростите выражение sin ⁡a/1+cos ⁡a + sin ⁡a/1-cos⁡a

Answer 1

Tg a/2 = sin ⁡a/1+cos ⁡a = 1-cos a/sin a

так как 1/tg = ctg, значит sin a/1-cos a = ctg a/2

получается, что  sin ⁡a/1+cos ⁡a + sin ⁡a/1-cos⁡a = tg a/2 + ctg a/2

Answer 2

Для упрощения данного выражения, мы можем использовать тригонометрическую идентичность тангенса суммы углов. По этой идентичности, тангенс суммы двух углов a и b можно выразить через тангенсы отдельных углов a и b:

Тангенс суммы углов:

tan(a + b) = (tan(a) + tan(b)) / (1 - tan(a) * tan(b))

Теперь применим эту идентичность к нашему выражению и упростим его.

Выражение: sin(a) / (1 + cos(a)) + sin(a) / (1 - cos(a))

Мы можем представить sin(a) как tan(a) * cos(a), используя тригонометрическую идентичность sin(a) = tan(a) * cos(a).

sin(a) / (1 + cos(a)) + sin(a) / (1 - cos(a)) = (tan(a) * cos(a)) / (1 + cos(a)) + (tan(a) * cos(a)) / (1 - cos(a))

Теперь мы можем применить тригонометрическую идентичность тангенса суммы углов:

= (tan(a) * cos(a) + tan(a) * cos(a)) / (1 - cos(a)^2)
= 2 * tan(a) * cos(a) / sin(a)^2

Мы также можем использовать тригонометрическую идентичность cos(a) = 1 / sec(a) и sin(a) = 1 / csc(a):

= 2 * tan(a) * (1 / sec(a)) / (1 / csc(a))^2
= 2 * tan(a) * csc(a)^2 / sec(a)
= 2 * sin(a) / cos(a)
= 2 * tan(a)

Таким образом, упрощенное выражение равно 2 * tan(a).