Question

Вычислите площадь фигуры ограниченной линиями y=x^2+1 и y= -x^2+3

Answer 1

Y=x²+1    y=-x²+3
x²+1=-x²+3
2x²=2
x²=1
x₁=1    x₂=-1
S=∫₋₁¹(-x²+3-x²-1)dx=∫₋₁¹(2-2x²)dx=2x-2x³/3 |₋₁¹=
=2*1-2x³/3-2-(-1)+2(-1)/3=2-2/3+2-2/3=4-4/3=(12-4)/3=8/3 кв. ед.

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y = x^2 + 1 и y = -x^2 + 3, мы можем использовать метод интегрирования. Сначала нам нужно найти точки пересечения этих двух кривых.

Для этого приравняем уравнения: x^2 + 1 = -x^2 + 3

Перенесем все в одну сторону: 2x^2 = 2

Разделим оба выражения на 2: x^2 = 1

Возьмем квадратный корень от обоих выражений: x = ±1

Таким образом, эти две кривые пересекаются в точках (1, 2) и (-1, 2).

Теперь, чтобы вычислить площадь фигуры, мы можем использовать интеграл. Поскольку кривые ограничены по оси x, мы будем интегрировать по оси x.

Площадь фигуры между двумя кривыми может быть вычислена следующим образом:

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx

где f(x) - верхняя кривая, g(x) - нижняя кривая, [a, b] - интервал, на котором мы интегрируем.

В нашем случае, верхняя кривая это y = x^2 + 1, а нижняя кривая это y = -x^2 + 3.

Таким образом, площадь фигуры ограниченной этими двумя кривыми равна:

S = ∫[-1, 1] [(x^2 + 1) - (-x^2 + 3)] dx

Упростим это выражение:

S = ∫[-1, 1] (2x^2 + 2) dx

Интегрируя это выражение, получим:

S = [(2/3)x^3 + 2x] |[-1, 1]

Подставим пределы интегрирования:

S = [(2/3)(1)^3 + 2(1)] - [(2/3)(-1)^3 + 2(-1)]

S = (2/3 + 2) - (-2/3 + 2)

S = 2/3 + 2 + 2/3 - 2

S = 4/3

Таким образом, площадь фигуры ограниченной кривыми y = x^2 + 1 и y = -x^2 + 3 равна 4/3.