Question

Если к числителю и знаменателю обыкновенной дроби прибавить по единице, то получится одна вторая, а если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби то получится 146. Найдите исходную дробь

Answer 1

Удобно составить систему

x+1/y+1=1/2 

x^2+y^2=146 

 

Ответ

5/11

Answer 2

Это можно рашать уравнением, можно подбором. 

Вот квадраты целых чисел до 12:

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144

из всех подходят только два: 25 и 121. числитель больше знаменателя, тогда дробь выглядит : 5/11

Answer 3

Пусть исходная дробь имеет вид \(\frac{a}{b}\), где \(a\) - числитель, \(b\) - знаменатель.

Условие гласит, что если к числителю и знаменателю прибавить по единице, то получится дробь равная \( \frac{a+1}{b+1} \), и если сложить квадраты числителя и знаменателя исходной дроби, то получится 146, то есть:

\[ \begin{align*} \frac{a+1}{b+1} &= \frac{1}{2} \\ (a+1)^2 + (b+1)^2 &= 146 \end{align*} \]

Раскроем квадраты и упростим уравнения:

1. Уравнение \(\frac{a+1}{b+1} = \frac{1}{2}\):

\[ 2(a+1) = b+1 \]

Раскроем скобки:

\[ 2a + 2 = b + 1 \]

Выразим \(b\) через \(a\):

\[ b = 2a + 1 \]

2. Уравнение \((a+1)^2 + (b+1)^2 = 146\):

\[ (a+1)^2 + (2a+2+1)^2 = 146 \]

Раскроем скобки:

\[ a^2 + 2a + 1 + 4a^2 + 4a + 4 + 1 = 146 \]

Сложим все члены:

\[ 5a^2 + 6a + 6 = 146 \]

Упростим:

\[ 5a^2 + 6a - 140 = 0 \]

Теперь решим квадратное уравнение. Для этого воспользуемся формулой:

\[ a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a = 5\), \(b = 6\), \(c = -140\).

Вычислим дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4(5)(-140) = 36 + 2800 = 2836 \]

Теперь вычислим корни:

\[ a_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{2836}}{10} \]

\[ a_{1} = \frac{-6 + \sqrt{2836}}{10} \]

\[ a_{2} = \frac{-6 - \sqrt{2836}}{10} \]

Таким образом, мы получаем два возможных значения для \(a\), а затем можем вычислить соответствующие значения для \(b\). Однако, у нас должно быть целое положительное значение для \(b\), так как \(b\) - знаменатель дроби. Поэтому выбираем те корни, которые дают целое положительное значение для \(b\).

Теперь, найдя \(a\) и \(b\), мы можем составить исходную дробь \(\frac{a}{b}\).