Question

8*(9/4)^x-30*(3/2)^x+27=0

Answer 1

$8 \cdot ( \frac{9}{4})^x-30 \cdot( \frac{3}{2})^x+27=0 \\ 8 \cdot ( \frac {3}{2})^{2x}-30 \cdot ( \frac {3}{2} ) ^x +3^3 =0\\ (\frac {3}{2})^x \equiv y \\ 8y^2-30y+27=0 \\ y=\frac {3}{2}, \ y=\frac{9}{4} \\ x=1, \ x=2$

Answer 2

Давайте решим уравнение \(8\left(\frac{9}{4}\right)^x - 30\left(\frac{3}{2}\right)^x + 27 = 0\).

Для удобства введем замену: \(y = \left(\frac{3}{2}\right)^x\). Тогда уравнение примет вид:

\[8\left(\frac{9}{4}\right)^x - 30\left(\frac{3}{2}\right)^x + 27 = 8y^2 - 30y + 27 = 0.\]

Теперь это квадратное уравнение относительно \(y\). Мы можем решить его с использованием дискриминанта.

Дискриминант \(D\) для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае: \[D = (-30)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 27 = 900 - 864 = 36.\]

Теперь мы можем использовать значения дискриминанта, чтобы определить характер решений:

1. Если \(D > 0\), у нас есть два действительных корня. 2. Если \(D = 0\), у нас есть один действительный корень. 3. Если \(D < 0\), у нас есть два комплексных корня.

В данном случае \(D = 36 > 0\), поэтому у нас есть два действительных корня.

Теперь, чтобы найти корни, используем формулы для квадратных уравнений:

\[y_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}.\]

Подставим значения: \[y_{1,2} = \frac{30 \pm \sqrt{36}}{16}.\]

1. \(y_1 = \frac{30 + 6}{16} = \frac{36}{16} = \frac{9}{4}\). 2. \(y_2 = \frac{30 - 6}{16} = \frac{24}{16} = \frac{3}{2}\).

Теперь мы можем вернуться к исходной переменной \(x\). Напомним, что \(y = \left(\frac{3}{2}\right)^x\).

1. \(y_1 = \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{9}{4}\). 2. \(y_2 = \left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{3}{2}\).

Теперь решим уравнения относительно \(x\):

1. \(\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{9}{4}\).

Возводим обе стороны в логарифм по основанию \(\frac{3}{2}\):

\(x \cdot \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{3}{2}\right) = \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{9}{4}\right)\).

Решаем уравнение и находим \(x_1\).

2. \(\left(\frac{3}{2}\right)^x = \frac{3}{2}\).

Возводим обе стороны в логарифм по основанию \(\frac{3}{2}\):

\(x \cdot \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{3}{2}\right) = \log_{\frac{3}{2}}\left(\frac{3}{2}\right)\).

Решаем уравнение и находим \(x_2\).

Таким образом, уравнение \(8\left(\frac{9}{4}\right)^x - 30\left(\frac{3}{2}\right)^x + 27 = 0\) имеет два действительных корня \(x_1\) и \(x_2\), которые находятся из решения соответствующих уравнений.