Question

Докажи,что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5

Answer 1

Пусть n натуральное число.
Тогда докажем что:
$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)$
Делится на 5.

Доказательство:
$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2)$
Поделим на 5:
$\frac{5(n+2)}{5}=n+2$ Получили натуральное число. Что и требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что сумма пяти последовательных натуральных чисел делится на 5, мы можем воспользоваться математической индукцией.

Математическая индукция - это метод математического доказательства, который используется для проверки утверждений, зависящих от натурального числа. Он состоит из двух шагов: базовый шаг и шаг индукции.

Базовый шаг:

Проверим утверждение для наименьшего возможного значения. В данном случае, наименьшее возможное значение - это 1.

Сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с 1, будет равна: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15.

15 делится на 5 без остатка, поскольку 15 = 5 * 3. Таким образом, базовый шаг доказывает, что утверждение верно для n = 1.

Шаг индукции:

Предположим, что утверждение верно для некоторого натурального числа k (k >= 1). То есть, сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с k, делится на 5 без остатка.

Мы должны доказать, что утверждение также верно для k + 1. То есть, сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с k + 1, также должна делиться на 5 без остатка.

Рассмотрим сумму пяти последовательных натуральных чисел, начиная с k + 1:

(k + 1) + (k + 2) + (k + 3) + (k + 4) + (k + 5)

Мы можем раскрыть скобки и преобразовать выражение:

k + 1 + k + 2 + k + 3 + k + 4 + k + 5 = 5k + 15

Мы видим, что сумма имеет вид 5k + 15, где k - некоторое натуральное число.

5k + 15 можно записать в виде 5(k + 3). Таким образом, сумма пяти последовательных натуральных чисел, начиная с k + 1, делится на 5 без остатка.

Исходя из шага индукции, утверждение верно для k + 1, если оно верно для k.

Заключение:

Мы доказали утверждение математической индукцией. То есть, сумма пяти последовательных натуральных чисел всегда будет делиться на 5 без остатка.