Question

Помогите решить, пожалуйста. С детальным расписыванием действий. (x+1) sqrt(x^2+x-2)=2x+2

Answer 1

Левую и правую часть можно сократить на x+1 (делим на это выражение при условии, что x≠-1), тогда остается $\sqrt{x^{2}+x-2}=2$
Возводим обе части в квадрат, переносим 4 влево, получаем квадратное уравнение: $x^{2}+x-6=0$
По теореме Виета произведение корней равно 6, сумма равна -1. Корни: -3, 2.


Если в уравнении есть выражение под корнем, то чаще всего его нужно "уединять" (переносить все, кроме корня, за знак равенства) и потом возводить левую и правую части в квадрат, тогда этот корень пропадает.

В данном случае: $\sqrt{x^{2} +x-2} = \frac{2x+2}{x+1} =2$
То же самое, но здесь скорее повезло, что справа пропала переменная, могло быть и не так хорошо :)

Answer 2

Давайте решим уравнение \( (x + 1) \sqrt{x^2 + x - 2} = 2x + 2 \) шаг за шагом.

1. Избавление от корня: Умножим обе стороны уравнения на \(\sqrt{x^2 + x - 2}\), чтобы избавиться от корня в левой части: \[ (x + 1) (x^2 + x - 2) = (2x + 2) \sqrt{x^2 + x - 2} \]

2. Раскрываем скобки: \[ x^3 + x^2 - 2x + x^2 + x - 2 = (2x + 2) \sqrt{x^2 + x - 2} \]

3. Упрощаем: \[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = (2x + 2) \sqrt{x^2 + x - 2} \]

4. Переносим все слагаемые в одну сторону уравнения: \[ x^3 + 2x^2 - x - 2 - (2x + 2) \sqrt{x^2 + x - 2} = 0 \]

5. Факторизация: Попробуем факторизовать левую сторону уравнения.

Напомним, что \((a - b)(a + b) = a^2 - b^2\). Видим, что \(x^3 + 2x^2\) похоже на \((x^2)^2\) и \(-x - 2\) похоже на \((-1)^2 - 2^2\).

\[ (x^2 - 2)(x + 1) - (2x + 2) \sqrt{x^2 + x - 2} = 0 \]

6. Разделяем корни и выражение: \[ (x^2 - 2)(x + 1) = (2x + 2) \sqrt{x^2 + x - 2} \]

7. Делаем перенос на одну сторону: \[ (x^2 - 2)(x + 1) - (2x + 2) \sqrt{x^2 + x - 2} = 0 \]

8. Разделяем переменные и числа: \[ (x^2 - 2)(x + 1) = 2(x + 1) \sqrt{x^2 + x - 2} \]

9. Упрощаем: \[ (x^2 - 2) = 2 \sqrt{x^2 + x - 2} \]

10. Избавляемся от корня: \[ (x^2 - 2)^2 = 4(x^2 + x - 2) \]

11. Раскрываем скобки и упрощаем: \[ x^4 - 4x^2 + 4 = 4x^2 + 4x - 8 \]

12. Приводим подобные слагаемые: \[ x^4 - 8x^2 - 4x + 12 = 0 \]

Теперь у нас есть уравнение четвертой степени. Решение этого уравнения может быть сложным, и оно может включать в себя как рациональные, так и иррациональные корни. Чтобы продолжить, мы можем использовать методы решения уравнений четвертой степени, такие как подстановка переменных.